| Autor |
Beitrag |
    
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. September, 2000 - 16:39: | 
|
tach leute! ich habe mal wieder eine frage:
ich suche den beweis fuer die gleichung einer ellipse: x²/a²+y²/b²=1 ...
ich habe irgendwo mal gelesen, dass man eine ellipse z.b. aus zwei konzentrischen kreisen mit den radien a und b konstruieren kann, indem man eine um den mittelpunkt der kreise rotierende diagonale zieht und dort, sich die diagonale mit den kreisen schneidet, eine parallele zur x- bzw. y-Achse anlegt. die menge aller schnittpunkte ergibt die ellipse.
ich habe versucht, dies formeltechnisch auszuschlachten, bin aber auf kein ergebnis gekommen...
danke im vorraus,
timo |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 07:09: |
|
Hi Timo,
Bei der Lösung Deines Problems bist Du auf gutem Wege.
Es fehlt nur die rechnerische Auswertung, die aber nicht allzu
schwierig ist
Zwei Kreise mit gemeinsamem Mittelpunkt im Nullpunkt O
des rechtwinkligen Koordinatensystems x,y haben die Radien
a ( Kreis c1) und b ( Kreis c2) ,wobei a > b gelte.
Eine Halbgerade h , Anfangspunkt in O , bildet mit der +x-Achse
den Richtungswinkel t = winkel ( +x , h ) ;
t wird die Rolle eines Parameters übernehmen mit 0 < = t < 360°
h schneidet den Kreis c1 in R und den Kreis c2 in Q.
Die Parallele r durch R zur y-Achse und die Parallele q durch Q
zur x-Achse schneiden sich in einem Punkt P(x/y) der gesuchten
Ellipse.
Ausserdem schneidet r die x-Achse in P', ferner sei
Q' der Schnittpunkt der Parallelen durch Q zur y-Achse
mit der x-Achse.
Nun gilt:
x = O P' = a * cos t .............................................................(I)
y = P' P = Q' Q = b * sin t.....................................................(II)
Aus diesen Gleichungen ist der Parameter t zu eliminieren,
Dies gelingt dadurch, dass wir durch Division mit a bezw.
mit b x und y freistellen, quadrieren und addieren;
wegen [cos t] ^ 2 + [sin t] ^ 2 = 1 kommt:
[ x / a ] ^ 2 + [ y / b ] ^ 2 = 1 und dies ist bereits die gesuchte
Ellipsengleichung.
Die benützte punktweise Konstruktion der Ellipse beruht
auf der Tatsache, dass die Ellipse normal-affin bezüglich der
x-Achse als Affinitätsachse mit dem Affinitätsverhältnis b / a
und gleichzeitig normalaffin zur y-Achse mit dem
Affinitätsverhältnis a / b ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 07:25: |
|
Hi Timo,
Zur vorigen Arbeit ist im letzten Abschnitt eine kleine
Ergänzung anzubringen.
Die Ellipse ist einerseits zum Kreis c1 normalaffin
mit der x-Achse als Affinitätsachse,
andrerseits zum Kreis c2 mit der y-Achse als Affinitätsachse
Die zugehörigen Affinitätsverhältnisse sind zueinander reziprok:
b / a bezw. a / b.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 12:44: |
|
jau, habe alles verstanden! vielen dank fuer deine gute und ausfuehrliche erklaerung!
bis zur naechsten frage...
timo |
|
