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Beitrag |
    
humpdi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 21:21: | 
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Ich komm einfach nicht weiter, und muß die Aufgabe leider schon bald abgeben, die da lautet.
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
n^4-4*n^2 ist teilbar durch 3 für alle n € N
Danke im voraus |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 12:22: |
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es ist eigentlich ungewöhnlich, dafür vollständige Induktion zu bemühen
(n²)²-4n² = n²(n²-4)=n²(n+2)(n-2)
wenn n = 3m dann ist n² durch 3 teilbar,
wenn n = 3m+1 dann ist n+2 durch 3 teilbar
wenn n = 3m+2 denn ist n-2 durch 3 teilbar
und
damit ist n²(n²-4) für alle n durch 3 teilbar - ist eigentlich auch schon ein leicht abgewandelter Induktionsschluss -
aber
verlangt ist wohl zu Zeigen, dass für
f(n)= n²(n²-4)
f(n+1) - f(n) durch 3 teilbar ist also
(n+1)4-4(n+1)² - n4+4n² durch 3 teilbar
4n³+n²(6-4-4)+n(4-8)+1-4
= 4n³+6n²-4n-3 = 3(n³+2n²-n-1)+n³-n
= 3(n³+2n²-n-1) + n(n²-1)
= 3(n³+2n²-n-1) + n(n+1)(n-1)
= 3(n³+2n²-n-1) + (n-1)n(n+1)
der 1te Summand ist immer durch 3teilbar
der 2te Summand, als Produkt 3 aufeinanderfolgender Zahlen ebenso. |
Lisie (lisie)
Mitglied
Benutzername: lisie
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. April, 2002 - 16:27: |
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was ist denn überhaupt vollständige induktion? |
Martin (martin243)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. April, 2002 - 18:25: |
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Das ist ein Beweisverfahren, das darauf beruht, dass man zeigt, das eine bestimmte Eigenschaft für einen Anfangswert (meist 0 oder 1) gilt und dann zeigt, dass, falls eine Zahl diese Eigenschaft hat, auch ihr Nachfolger diese Eigenschaft besitzt. Hat man beides gezeigt, dann hat man schon bewiesen, dass diese Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen ab dem Anfangswert diese Eigenschaft besitzen.
Die Grundlage dieses Beweisverfahrens bilden die Peano-Axiome, über die man bestimmt etwas findet, wenn man eine Suchmaschine bemüht (z.B. Google) |
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