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Sandra (Fireball)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 18:36: | 
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Wir haben einen eicht dummen Referendar! Und er kann mich nicht leiden. Vielleicht, weil ich nicht auf den ersten Blick verstanden haben warum Wurzel2*Wurzel2 = 2 ist.
Jetzt sollen wir bis Mittwoch unsere Hausaufgaben abgeben (wird benotet!!!) und der ganze Kurs ist total in Panik weil es keiner kann.Dort gibt es also niemand der mir helfen könnte. Deshalb wende ich mich an euch. Die Aufgabe lautet :
1) Welcher Punkt des Graphen der Funktion f mit
f(x) = 1/x hat von Koordinatenursprung minimalen Abstand ?
2) Welche gerade quadratische Pyramide mit gegebenen Volumen hat die kürzeste Seitenlinie?
Kann mir vielleicht jemand auch die Kettenregel erklären? Sollen wir können, obwohl wir es nie gemacht haben!!!
Danke für eure Antworten !
See you, Fíreball (Sandra) |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 20:42: |
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Hallo Sandra,
bitte schreibe jede Aufgabe einzeln hier ins Board, sonst wird man von der Textlänge entmutigt
bei der 1. Aufgabe hilft eine Skizze
Wie würdest Du den Abstand eines Punktes (x,y) vom Nullpunkt definieren? Als Länge der Strecke zwischen dem Punkt und dem Nullpunkt.
Wie mißt man die Länge einer Strecke, die im Nullpunkt beginnt? Zuerst x Kästchen nach rechts und dann y Kästchen nach oben, also hat die Strecke zum Punkt (x,y) die Länge
Wurzel(x^2+y^2)(+)
( Satz von Pythagoras )
Was weißt Du über den Punkt? er soll auf dem Grafen der Funktion f(x)=1/x liegen, d.h. y=1/x
Setze dies in ( + ) ein
dann ist der Abstand eines Punktes
=Wurzel(x^2+(1/x)^2)=A(x)
Welcher Punkt "auf f" hat den kleinsten Abstand vom Nullpunkt? Derjenige, für den A(x) minimal ist
Wie findest Du diesen Punkt? Lokales Extremum suchen
A'(x)=1/(2Wurzel(x^2+(1/x)^2))*(2x-2/(x^3))
Setze A' = 0, d.h.
2x-2/x^3=0, d.h. x=1/x^3, d.h. x = 1
Der gesuchte x - Wert des Punktes ist also 1 und der y - Wert ist auch 1, da der Punkt auf f liegt.
(1;1)ist also der Punkt mit minimalem Abstand vom Nullpunkt auf f.
Zur Kettenregel : diese benutzt man, wenn Funktionen ineinander verschachtelt sind
( z.B. f(x)= Wurzel(1-x^2) )
Außen steht in diesem Beispiel die Wurzel, innnen die Funktion 1-x^2
Ableitung nach der Kettenregel bilden heißt : zunächst die Ableitung der äußeren Funktion bilden und die innere Funktion dabei stehen lassen, anschließend die Ableitung der inneren Funktion bilden, ohne sich um die äußere Funktion zu kümmern und beides miteinander malnehmen
Ableitung von Wurzel = 1/(2*Wurzel )
Ableitung von 1-x^2=-2*x, d.h. die Ableitung von f ist
1/2Wurzel(1-x^2)*(-2*x) |
Zorro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 07:17: |
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Guten Morgen Sandra,
1. Aufgabe:
Die erste Aufgabe habe ich mit dem gleichen Ansatz wie Armin gelöst.
Anmerkung: bei der Lösung von Armin fehlt die zweite Lösung x=-1
Grundbedingung: (Pythagoras)
s² = x² + y²
mit s ... Abstand vom Ursprung
Nebenbedingung: (Funktionsgleichung)
y = 1/x
Einsetzen ergibt die Zielfunktion
s²(x) = x² + 1/x²
Erläuterung: Gesucht ist zwar das Minimum von s(x). Die Funktionen s(x) und s²(x) erreichen ihre jeweiligen Extremwerte an den gleichen Werten von x. Deshalb kann man auch mit s² weiterrechnen,
s²(x) = x² + x-2
Bedingung für Extremwert: s²'(x) = 0
0 = 2x –2x-3 |+2x-3
2x = 2x-3 | /2
x = x-3 |*x³
x4 = 1
xmin1,2 = +/- 1
d.h. es sind 2 Punkte, die minimalen Abstand zum Ursprung haben (-1;-1) und (1;1)
Überprüfung mit 2. Ableitung
s²''(x)² = 2 + 6x-4
xmin1,2 eingesetzt ergibt s²''(xmin1,2) = 8 >0 ... Minimum!
2. Aufgabe:
Zur Erläuterung - so habe ich die Aufgabenstellung verstanden:
Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit gegebenen Volumen.
Gesucht ist die minimale Seitenlänge für dieses Volumen;
d.h. Zielfunktion muß eine Funktion a von irgendetwas sein.
Volumen einer Pyramide V = (1/3)G*h
Da das Volumen gegeben sein soll, nach der quadratische Seitenlänge minimiert werden soll, bleibt als Funktionsvariable nur die Höhe der Pyramide.
Wenn also gefragt ist, wie die Pyramide aussieht,die die kürzeste Seitenlinie hat, dann ist damit gemeint: "welche Höhe muß eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und gegebenem Volumen haben, damit die Seitenlängen minimal werden".
Damit kommt man auf:
Grundfunktion:
G = a²
a = ÖG
mit G ... Grundfläche
Nebenbedingung:
V = (1/3)G*h
G = 3V/h
Zielfunktion:
a(h) = Ö(3V/h)
a(h) = (3V)1/2 * h-1/2
... und da bahnt sich bereits ein Problem an...
Bedingung für Extremwert: a'(h) = 0
0 = (3V)1/2 * (-1/2) * h-3/2
... ein Produkt hat immer dann den Wert 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
3, V und (-1/2) sind's nicht – bleibt h – und das darf nicht ... (1/h ist nicht definiert).
Die Lösung ist die, daß die Zielfunktion keine Extremwerte hat. Die Funktion nähert sich asymptotisch einem Minimal- und einem Maximalwert an.
d.h. maximal werden die Seitenlängen, wenn h gegen 0 geht, und minimal, wenn h gegen unendlich geht. (und das klingt doch einsichtig)
Vielleicht hat ja noch jemand anderes eine Idee, wie diese Aufgabe zu betrachten ist !
Gruß, Zorro |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 22:04: |
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Hi Zorro,
die Seitenlänge a der Grundfläche kann nicht mit "Seitenlinie" gemeint sein, anschaulich könnte man dann sofort sagen, man "zieht" die Spitze der Pyramide von der Grundfläche weg, so dass sie die Form einer vierkantigen Nadel bekommt und schon hat man a relativ klein gemacht, dies kann man treiben, bis a sehr, sehr klein ist, also konform mit Deiner Antwort, dass es keine Lösung gibt.
Es müsste die Länge s der vier Kanten gemeint sein, die in der Pyramidenspitze zusammentreffen, sehr anschaulich kann ich mir den Fall minimaler Seitenkante s aber dabei nicht vorstellen.
stelle die Nebenbedingung V = G*h/3 = a2*h/3 nach a um und ersetze das a in der Zielfunktion s = Ö(h2+a2/2)
=> s(h) = Ö[h2 + 3V/(2h)]
=> s'(h) = [2h - 3V/(2h2)] / 2Ö[h2 + 3V/(2h)]
=> s"(h) = [(2 + 3V/h3) * 2Ö.. - (2h - 3V/(2h2)) * (2h - 3V/(2h2))/2Ö.. ] / 4 (Ö.. ) 2
wobei Ö.. = Ö[h2 + 3V/(2h)] bedeuten soll
s'(h) = 0 , also Zähler von s'(h) = 0 setzen:
2h - 3V/(2h2) = 0
2h = 3V/(2h2)
4h3/3 = V
mit Nebenbedingung V = a2*h/3 folgt dann 4h3/3 = a2*h/3 oder auch
4h2 = a2
und somit a = 2h
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Zum kompletten Durchrechnen des Einsetzens in die 2. Ableitung habe ich jetzt keine Lust, abgesehen von der Tipperei der Doppelbrüche, wann immer es passend erschien, habe ich V durch a2h/3 ersetzt und ab und zu ein h durch 2a, rudimentär sieht das etwa so aus,
s"(h) = [(2 + 3a2h/3h3) * 2Ö.. - (2h - (3/2)(1/3)a2/h) * (2h - (3/2)(1/3)a2/h) / 2Ö.. ] / 4 (Ö.. ) 2
= [(2+(a/h)2 * 2Ö.. - (2h - 4h2/(2h))2/2Ö.. ] / 4 (Ö.. ) 2
= [(2+4) * 2Ö(h2+4h2/2) - (2h - 2h) * ...] / 4 (Ö.. ) 2
= 6 * 2Ö(3h2) / 4 (Ö.. ) 2
= 6 * 2h Ö3 / ...
> 0
also Minimum
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Also letztendlich: eine Pyramide mit a=2h hat die kürzeste Seitenlinie s mit s2 = 3a2/4 = 3 h2
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P.S.: weiß jemand eine kurze, einprägsame Bezeichnung für den Satz "... ein Produkt hat immer dann den Wert 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.", die nicht so komisch klingt wie vielleicht "Satz vom Nullprodukt" ? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 19:13: |
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Weiß keiner eine ? |
Kai
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:50: |
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fällt mir spontan auch nichts zu ein ....
Kai |
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