| Autor |
Beitrag |
    
Rodowski
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 17:54: | 
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Meine Aufgabe: "Welcher einer Kugel einbeschriebene gerade Kreiskegel hat die größte Mantelfläche?"
Zahlen sind dabei nicht vorgegeben. Die Aufgabe soll nur mit Variablen so weit als möglich gelöst werden. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 07:57: |
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Hi ,
Wir schreiben einem Kreis mit Mittelpunkt M und
Radius R ein gleichschenkliges Dreieck ABC
ein mit A als Spitze und BC als Basis.
Der Durchmesser AD ist Symmetrieachse des Dreiecks;
er schneidet die Basis in deren Mittelpunkt N.
Jetzt lassen wir den Kreis samt Dreieck um den
Durchmesser AD als Achse rotieren:
Aus dem Kreis entsteht eine Kugel (M,R) ,aus dem Dreieck
ein gerader Kreiskegel ( Rotationskegel ) mit A als Spitze.
Die Länge x der Strecke NC ist der Radius des Grundkreises,
die Länge y der Strecke AN stimmt mit der Höhe des Kegels
überein. Für die Länge s einer Mantellinie gilt:
s ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2..........................................................(I)
Aus dem Höhensatz im (bei C) rechtwinkligen Dreieck ADC
entnehmen wir die Relation
x ^ 2 = y * ( 2* R - y )......................................................(II)
Berechnung der Mantelfläche F des Kegels:
F = Pi * x * s , quadriert:
F ^ 2 = Pi ^ 2 * x ^ 2 * s ^ 2 = Pi ^ 2 * x ^2 * ( x ^2 + y ^2)).
Wir ersetzen in der letzten Gleichung x ^ 2 gemäss Formel (II):
Es kommt:
F ^ 2 = Pi ^ 2 * y * ( 2 * R - y ) * [y* (2 * R - y ) + y ^ 2 ]
= Pi ^ 2 * y * ( 2 * R - y ) * 2 * R * y
Es genügt, das Maximum der folgenden Funktion f(y) in y zu
ermitteln:
f ( y ) = y ^ 2 * ( 2 * R - y ) = 2 * R* y ^ 2 - y ^ 3.
Ableitung nach y :
f ' ( y ) = 4 * R * y - 3 * y ^ 2
Es ist die von null verschiedene Nullstelle der Ableitung zu finden;
Diese lautet: y = 4 / 3 * R
Für diesen Wert wird die zweite Ableitung f ''(y) = 4*R - 6*y negativ;
es handelt sich somit um ein Maximum.
Zum gefundenen y.- Wert gehört nach (II) der x-Wert
x = 2 * R / 3 * wurzel (2)
Damit sind die Daten des eingeschriebenen Kegels mit maximalem
Volumen bekannt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Albino
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 10:23: |
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Hallo,
bis zu dem Schritt
[quote]F^2 = Pi ^ 2 * y * ( 2 * R - y ) * 2 * R * y [/quote]
kann ich Ihnen folgen.
Wie begründen Sie den nächsten Schritt?
[quote]
Es genügt, das Maximum der folgenden Funktion f(y) in y zu
ermitteln:
f ( y ) = y ^ 2 * ( 2 * R - y )
[/quote]
Wieso können Sie alle Konstanten weglassen? Wenn man dies nicht tut, ergibt sich m.E. ein anderer Wert für x.
Mit freundlichen Grüßen
Albino |
Grandnobi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 13:36: |
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Albino, die konstanten Faktoren aus F^2= Pi ^ 2 * y * ( 2 * R - y ) * 2 * R * y sind nur zum Zweck der Differenzierung weggelassen werden, In der ersten Ableitung würden sie eh den Wert "1" annehmen. Du kannst die Faktoren p und R ebensogut in der Funktionsgleichung belassen und mit-differenzieren. Du wirst zum gleichen Ergebnis für die erste und zweite Ableitung kommen.
f (x) = (p2 * 2 * R) * y * ( 2 * R - y ) * y
f(x) = (p2 * 2 * R) * (2*R*y2 - y3)
f(x) = [(p2 * 2 * R) * (2*R*y2)] - [(p2 * 2 * R)*( y3)]
f '(x) = (4 * R * y) - (3 * y2)
Der Wert für x ist entsprechend megamath mit der Gleichung (II) zu bilden (d.h, bevor die o.g. Vereinfachung vorgenommen worden war). Somit ergibt sich
x ^ 2 = y * ( 2* R - y ).
mit
y = (4/3) R
x2 = 2* (4/9)R2
x = Wurzel(2) * (2/3)R
Gruß,
Grandnobi |
Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 14:01: |
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Halt, mein letztes Posting war nicht ganz richtig - um nicht zu sagen "grottenfalsch" ;-(
Tatsache ist, daß die Konstanten keineswegs in der Differenzierung den Wert "1" annehmen, sondern als konstante Faktoren erhalten bleiben.
Setzt man allerding die erste Ableitung gleich Null, so entfallen diese konstanten Faktoren umgehend...
f '(x) = (p2*2*R) * [ (4 * R * y) - (3 * y2)]
f '(x) = 0
0 = (p2*2*R) * [ (4 * R * y) - (3 * y2)]
0 = (4 * R * y) - (3 * y2)
Daher konnte man die konstanten Faktoren bereits vor der Differenzierung eliminieren
Entschuldige mein vorheriges Posting... *ärger*
Gruß,
grandnobi |
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