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Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 17:02: | 
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Hallo!
Wer kann mir folgende Funktion lösen?
Ist die Funktion f(x)=-log((1-x)c1(1-x/2)c2(1-x/3)c3) für x ist ein Element von [0,1] und ci > 0 (i=1,2,3) konvex?
Danke im voraus,
Sandy |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 20:21: |
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f(x)=-(c1*log(1-x)+c2*log(1-x/2)+c3*log(1-x/3))
( Rechenregeln für log )
zeige : f''(x) ist >0 , denn dann ist f konvex
f'(x)=c1/(1-x)+1/2*c2*1/(1-x/2)+1/3*1/(1-x/3)
f''(x)=c1/(1-x)^2+1/4*1/(1-x/2)^2+1/9*(1-x/3)^2
da Quadrate >0 sind, ist
f''(x) > 0, d.h. f ist konvex |
Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 22:58: |
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Hallo Armin!
Deine Lösung kann nicht ganz stimmen.
Wenn f"(x) > 0 ist, dann ist sie konkav oder?
Wie kommst du auf konvex? Kannst du mir das begründen?
Sandy |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 07:43: |
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Hallo Sandy,
Der Begriff konkav und konvex wird in der mathematischen Literatur unterschiedlich angewandt.
Jede Kurve hat eine konkave und eine konvexe Seite - dies ist klar.
Aber ob man den Grafen einer Funktion konkav oder konvex nennt, hängt davon ab ob man von unten oder von oben draufschaut.
In Deutschland wird jedoch f"³0 als konvex bezeichnet, so wie von Armin angegeben. (In Frankreich z.B. heißt dies konkav).
Manche Bücher nennen dies "konkav von oben".
Ich habe ein Buch, dort heißt dies: "can hold water" im Gegensatz dazu: "cannot hold water"; die Bedeutung ist dann zumindest klar. |
Sandy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 18:34: |
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Aber wieso steht im Mathebuch von zahlreich.de für y">0 konkav, wenn es dann in Deutschland nicht die allgemein gültige Regel ist .... versteh ich irgendwie nicht ...
Und überhaupt wenn y"=0 dann ist die Funktion nicht konvex, sondern linear!
Schaut euch bitte einmal das an:
http://www.zahlreich.de/desktop_mathe/daten/auto/part_9/node119.htm
Danke für eure Mühe!!!!
Sandy |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 22:08: |
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Hallo Sandy,
Das Chaos in der Bezeichnung scheint größer zu sein, als ich angenommen hatte:
Ich habe ebenfalls (ein einziges) deutsches Buch gefunden, in dem f"(x)³0 als konkav bezeichnet wird.
Am Besten man sagt: (mit fortschreitendem x) rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt.
Übrigens: f"=0 ist sowohl konvex als auch konkav. (Da stimmen alle überein).
Ist f"(x) > 0 für alle x eines Intervalls, dann ist f(x) streng konvex auf diesem Intervall.
Ist f"(x) ³ 0 für alle x eines Intervalls, dann ist f(x) konvex auf diesem Intervall.
Analog für konkave und streng konkave Funktionen. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 19:34: |
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Ich kenne für Funktionen auch nur die Bezeichnung konvex, wenn f ''(x) >= 0.
Für optische Linsen kenne ich eine Eselsbrücke für konkav: Da kann man Kave reinschütten.
Bei Funktionen funktioniert diese Eselsbrücke leider nicht, wenn man annimmt, dass der Kaffee i. A. nach unten fällt.
In das Mathebuch komme ich nicht rein, obwohl ich hier ein Benutzerkonto habe... |
Cave-Man
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. September, 2000 - 02:35: |
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Noch eine Eselsbrücke für konkav:
concave wie Cave, von Cave-Man, der aus der Höhle kam |
Bodo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 23:30: |
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Zaph,
Hier steht, wie man in Mathebuch kommt:
http://www.zahlreich.de/mathebuch
Die kleine einmalige Prozedur mit der mail ist leider notwendig aus lizenzrechtlichen Gründen.
Bodo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 10:36: |
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Hallo Bodo, ich habe ein Benutzerkonto. Es funktioniert auch alles, nur eben das Mathebuch nicht. Dort wird mein Passwort nicht akzeptiert.
Zusatzfrage: Was sind denn das für lizenzrechtliche Gründe? |
Sandy
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 11:43: |
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Hallo Zaph!
Es gibt ein eigenes Passwort für das Mathebuch. Du musst dir für das Mathebuch komischerweise ein eigenes Passwort holen!!!!
(Passwort für Mahtebuch ¹ persönliches Passwort)
Ciao,
Sandy |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 12:20: |
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Danke Sandy. Habe ich jetzt mal probiert, mich auf Bodos Link erneut registrieren zu lassen. Ich erhalte aber die Meldung
"Die E-Mail-Adresse, die Du eingegeben hast, wird bereits durch ein Benutzerkonto in diesem System benutzt. Es wird nur ein Benutzerkonto pro E-Mail-Adresse zugelassen."
:-( |
ZahlReich-Team
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 23:12: |
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Hallo Zaph,
schreibe eine mail an mathebuch@zahlreich.de und im Betreff sollte Dein Benutzername vom Konto stehen (sonst kann die mail leer sein). Als automatische Antwort erhälst Du den Zugang zum Mathebuch per mail.
Die lizenzrechtlichen Gründe dafür, daß der Zugang zum Mathebuch nicht offen ist, sind folgende:
Dieses Onlinebuch ist auch per CD käuflich erhältlich (klick hier) und wir zahlen für alle Nutzer eine Online-Nutzungsgebühr (die wir hoffen über Bannerwerbung wieder hereinzubekommen).
Da wir aber nicht für alle 100 Millionen deutschsprachigen potentiellen Nutzer Nutzungsgebühren zahlen wollen und können, gibt es den registrierten (kostenlosen) Zugriff, der einfach uns die Zahl der Nutzer zählt, für die wir Lizenzgebühren zahlen.
http://www.zahlreich.de - team |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 00:31: |
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Hi an alle, die noch wach sind und an die, die schon schlafen!
In meinem Calculus-Buch steht für f''(x)³0 "konkav nach oben" und für f''(x)£0 "konkav nach unten". (concave upward, concave downward)
Außerdem könnte man auch einfach "nach oben gekrümmt" oder "nach unten gekrümmt" sagen.
Die Unterscheidung Konkav-Konvex halte ich bei Kurven sowieso für ziemlich unsinnig, da "konvex" für Flächen, bzw. Körper so definiert ist, dass eine Punktmenge konvex ist, wenn sie mit jedem Paar zweier Punkte A und B auch alle Punkte der Verbindungsstrecke AB beinhaltet.
Demanch wäre die einzige "konvexe" Kurve die Gerade, um damit die Verwirrung komplett zu machen. (wobei der Begriff Kurve ja auch nicht so einfach zu verwenden ist, wie ich ja dank Zaph jetzt weiß...)
Gute Nacht.
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 12:02: |
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Hallo Zahlreich-Team, ja ich verstehe :-)
Hallo Sandy, Cosine, Fern,
der Begriff "konvex" für Funktionen und Punktmengen kann durch folgenden Sachverhalt vereint werden.
Eine Funktion f:D -> IR ist genau dann konvex, wenn die Menge {(x,y) | x aus D und y >= f(x)} konvex ist.
Dies kann man auch als Definition einer konvexen Funktion auffassen (was i. d. R. auch gemacht wird) und hat dann den Begriff auch für solche Funktionen definiert, deren zweite Ableitung nicht existiert, die also nicht irgendwierum gekrümmt sind.
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist somit konvex.
Die "Kurve" (schreib besser "Funktionsgraph") dieser Funktion ist natürlich nicht konvex.
Mit Begriffen und Schreibweisen ist das so eine Sache. Der Physiker Feynman schreibt in seiner (sehr unterhaltsam zu lesenden) Autobiographie "Sie belieben wohl zu scherzen, Mr. Feynman" zu diesem Thema:
Als ich mich mit der Trigonometrie beschäftigte, gefielen mir die Symbole nicht, die normalerweise für Sinus, Cosinus, Tangens und so weiter verwendet werden. Für mich sah "sin f" wie s mal i mal n mal f aus! Deshalb erfand ich ein anderes Symbol, so ähnlich wie ein Quadratwurzel-Zeichen, nämlich ein Sigma, das einen langen Arm ausstreckt, und darunter schrieb ich das f. ...
Der Arkussinus war das gleiche Sigma, aber spiegelverkehrt von rechts nach links, sodass das Zeichen mit der horizontalen Linie anfing, unter der der Wert stand, und dann kam das Sigma. DAS war der Arkussinus, NICHT sin-1 f, das war verrückt! Das stand in den Büchern! Für mich bedeutete sin-1 der Kehrwert 1/sin. Meine Symbole waren also besser. ...
Ich fand, meine Symbole seien ebenso gut - wenn nicht besser - wie die regulären Symbole - es ist ganz egal, WELCHE Symbole man verwendet -, aber später entdeckte ich, dass es DOCH nicht egal ist. Als ich nämlich einmal auf der High School einem anderen Jungen etwas erklärte, machte ich zunächst, ohne zu überlegen, diese Symbole, und er fragte: "Was zum Teufel ist das denn?" Da wurde mir klar, das ich, wenn ich mit jemand anderem sprach, die Standardsymbole benutzen musste, und deshalb gab ich schließlich meine eigenen Symbole auf. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 13:28: |
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Noch etwas zur "strengen Konvexität".
f ''(x) > 0 ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig für die strenge Konvexität.
Eine in einem Intervall I differenzierbare Funktion f(x) heißt dort streng konvex, wenn die Ableitung f '(x) in I streng monoton wächst.
Zum Beispiel ist die Funktion f(x) = x^4 streng konvex, obwohl f ''(0) = 0. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 22:04: |
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Hi Zaph!
Der gute Herr Feynman hat sehr Recht. Auch wenn ich das Buch selbst nicht gelesen habe, so habe ich auszugsweise doch schon genug Zitate daraus gehört ("Nein, ich habe die Tür nicht geklaut")
Irgendwann lese ich's auch noch mal...
Nochmal zur Konkavität:
In meinem Calculus-Buch wurde "convace upward" selbstverständlich nicht als f''(x)>0 definiert, ich hatte dies nur um Zeit zu sparen, so formuliert. Korrekt stand da: Eine Funktion, die diff.bar auf einem Intervall I ist, heißt "concave upward", wenn ihr Funktionsgraph in diesem Intervall über allen seinen Tangenten liegt (außer dem Berührpunkt).
Anschließend wird mit Hilfe des Mittelwertsatzes dann hergeleitet, dass f''(x)>0 eine hinreichende Bedingung dafür ist (wenn auch nicht notwendig)
Thema "Kurve": Den Begriff "Funktionsgraph" habe ich mal definiert gelesen als die Punktmenge (x|y) für die gilt y=f(x).
Was machst Du also mit Punktmengen der Art
x³+y³=3xy
oder
x=sin(t)+t/2 ; y=cos(t) (Parametergleichung)
oder
r=Ö(q) (Polarkoordinatendarstellung)
Diese drei "Punktmengen" oder "gebogenen Linien" hätte ich -bevor ich die "topologische" Kurvendefinition gehört hatte- als "Kurven bezeichnen. Funktionsgraphen sind sie ja eingentlich nicht...
Wie würdest Du sie nennen?
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 20:00: |
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Heyho Cosine, that's right!
Habe mir meinen anderen Beitrag mit den Kurven noch mal durchgelesen. Dort hatte ich behauptet, die Normalparabel wäre in den meisten Fällen keine Kurve. Hätte besser schreiben sollen, die Normalparabel ist in einigen Fällen keine Kurve. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 18:48: |
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Heyho Zaph!
Wenn Du das Ziel hast, mich entgültig zu verwirren, dann bist Du dem Ziel schon ziemlich nah gekommen... ;-) (nicht böse gemeint)
Bitte um Aufklärung: In welchen Fällen ist sie denn nun eine Kurve und in welchen nicht?
Wenn man mit einem Analysis-Spezialisten spricht, ist sie eine und wenn man einen Topologen fragt, ist sie keine? ...oder wie soll ich das verstehen?!?
Nach Deiner Definition wären doch die drei Beispiele keinen "Kurven" oder?
Bitte um Aufklärung,
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 21:09: |
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Hi Cosine,
hier die Anleitung, wie du feststellen kannst, in welchen Fällen die Normalparabel eine Kurve ist.
Stell dir vor, du hast ein Mathebuch, in dem Kurven vorkommen.
Suche im Index das Wort "Kurve". Suche auf der Seite mit der niedrigsten Nummer, die neben dem Wort "Kurve" steht nach der Definition von Kurven. Überprüfe, ob diese Definition auf eine Normalparabel zutrifft.
Taucht "Kurve" nicht im Index auf, dann sind die Normalparabel und deine Beispiele Kurven.
Ich hab früher einmal (12.03., 14:13) in einem anderen Thread eie Definition von Kurven abgetippt. Siehe hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/1972.html?Montagden10April20001806#POST9292?Montagden10April20001806 |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 08:33: |
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Okay, Zaph!
Danke für die Anleitung. Ich denke, ich hab's begriffen, und werde Dich nicht länger zum Thema "Kurve" nerven, versprochen;-)
Danke nochmal
Ciao
Cosine |
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