    
marco i
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 12:03: | 
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Hallo mrx.
Ich denke du weißt, wie die Zeichnung aussieht, daher können wir direkt zum Eingemachten kommen.
Runde 0 ist der Beginn. Runde 1 ist das Quadrat mit den 4 "Beulenquadraten" u.s.w.
Sei k(n) die Anzahl der Kanten nach n Runden.
kl(n) die Kantenlänge nach n Runden.
q(n) die Anzahl der Außenquadrate nach n Runden.
k(0) = 4, k(1) = 4*5, k(2) = 4*5*5, allgemein: k(n) = 4*5^n.
kl(0) ist gegeben (Anfangskantenlänge)
kl(1) = 1/3*k(0)
kl(2) = 1/3*1/3*k(0), allgemein: kl(n) = k(0)*(1/3)^n.
q(0) = 1 (Das erste Quadrat)
q(1) = 4 (=4*5^0)
q(2) = 4*5 (Pro Runde wird die Anzahl jetzt verfünffacht)
allgemein: q(n) = 4*5^(n-1) für n>=1
Für den Umfang gilt:
Umfang(n) = k(n)*kl(n) = 4*5^n*(1/3)^n * k(0) = 4*k(0) * (5/3)^n.
Dies ist eine geometrische Folge, wobei 5/3>1 ist, also ist die Folge unbeschränkt, daher divergent.
Nun zum Flächeninhalt:
Ich weiß nicht, ob du das Summenzeichen kennst (11. Klasse?), daher schreib ich es anders.
Flächeninhalt = q(0)*kl(0)^2 + q(1)*kl(1)^2 + ...
= 1 + 4*(1/9)^1 + 4*5^1*(1/9)^2 + 4*^5^2*(1/9)^3 + ...
= 1 + 4/9 + 4/9*(5/9)^1 + 4/9*(5/9)^2 + ...
= 1 + 4/9 * (1 + (5/9)^1 + (5/9)^2 + ... )
--> 1 + 4/9 * 1/(1-5/9) für n -->oo (*)
= 1 + 4/9 * 9/4 = 1 + 1 = 2!!!
Die Folge der Flächeninhalte konvergiert gegen 2.
(*) ist übrigens der Grenzwert einer geometrischen Reihe. 1+q+q^2+... --> 1/(1-q).
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