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malcolm x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 22:31: | 
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einen schönen guten tag, ich hab einen vortrag zu der eulerschen zahl zu halten, dabei ist mir aufgefallen, dass die funktion e^x an jeder stelle die ableitung eins hat. also dass die abgeleitete funktion gleich der ursprungsfunktion ist, meine bitte wäre der beweis für diesen zusammenhang, egal wo ich e^x ableite habe ich die ableitung 1, warum ist das so? |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 22:56: |
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Hi malcolm
Dazu hatte ich neulich schonmal was im 12er Forum geschrieben (ich glaub irgendwo bei Funktionen), aber ich finds leider net mehr. Ich mach das dann hier nochmal etwas kürzer.
Zunächst einmal betrachten wir eine beliebige Exponentialfunktion f(x)=a^x.
Diese leiten wir ab:
f'(x)=lim(h->0)(a^(x+h)-a^x)/h)
=lim(h->0)(a^(x)*(a^h-1)/h)
Es muss jetzt also untersucht werden, ob es ein a so gibt, daß lim(h->0)((a^h-1)/h)=1 ergibt. Genau dann wäre nämlich die Ableitung gleich der Ausgansfunktion.
Wir nehmen jetzt mal an, dass es diesen Grenzwert 1 gibt und setzen x=0. Die Ableitung an der Stelle 0 ist also 1. Die Funktion muss im Punkt P(0|1) die Gerade y=x+1 berühren.
Wir schauen uns die Punktfolge auf der Geraden an.
P1(1|1+1)
P3(1/2|1+1/2)
Pn(1/n|1+1/n)
Wir nähern uns also dem Punkt P. Zu jedem der Punkte Pn gibt es eine Exponentialkurve und es gilt:
1+1/n=a^(1/n)
a=(1+1/n)^n
Für n gegen unendlich wird a=e=2,71828...
MfG
C. Schmidt
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malcolm x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. März, 2002 - 21:35: |
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das is klar, aber man muss doch den beweis so führen, dass egal wo ich e^x ableite immer die ableitung eins, ich hab hier was im netz gefunden
ich geb mal die url:
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ableitung/Beweise2.htm
vielleicht könntest du dir mal den beweis anschauen, da hab ich nämlich eine frage dazu, und zwar ist bei denen e^h=1+k und h=ln(1+k).
warum ist das so, warum kann ich h so schreiben, wenn das geklärt wäre hätte ich alles verstanden.
vielen dank im voraus |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 17:20: |
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Hallo malcolm x
wenn man eh=k+1 setzt und anschließend die Gleichung logarithmiert; also
ln(eh)=ln(k+1) so erhält man
h*lne=ln(k+1) (nach Logarithmengesetz)
und wegen lne=1 folgt
h=ln(k+1)
Mfg K. |
malcolm x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 21:48: |
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hmmm, so richtig hab ich es immer noch nicht verstanden: warum kann ich e^h als 1+k darstellen, ich sag mal so e^h wäre ein fester wert wenn ich für h was einsetzen würde, warum würde aber dieser wert 1+k entsprechen, dass versteh ich nicht. deine beziehung zwischen den beiden termen hab ich verstanden, aber warum ist e^h gleich 1+k? |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 13:31: |
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Hi malcolm
Das ist im Prinzip nur eine Definition. Wenn du sagst die Gleichung gilt, und das darfst du, weil k auch eine Variable ist, darf sich trotzdem der Grenzwert insgesamt nicht verändern. Deshalb musst du auch noch den Nenner umschreiben.
Der Beweis ist aber auch im weiteren Verlauf nicht ganz einfach. Es werden nämlich ein paar Sachen ausgelassen, die eigentlich auch noch zu beweisen sind. Z.b. warum der Grenzwert lim(k->0)(1+k)^(1/k) überhaupt e ergibt.
Ich bin mir nicht mehr ganz sicher, aber ich glaube es gibt immer e für lim(k->oo), wenn gilt:
(1+Nullfolge)^(1/Nullfolge)
MfG
C. Schmidt |
malcolm x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 22:06: |
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man wil beweisen, dass e an irgendeiner stelle immer eins ist. k ist eine nullfolge, man sagt e^h ist also 1 plus nullfolge (also null), ist dann e^h gleich 1??? kann ich also auch 2+k oder 5+k einsetzen??? ich kann mir doch nicht einfach so die variablen zu recht machen, da muss es noch eine andere begründung geben (die ich verstehe..lol)
;) |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 14:06: |
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Hi malcolm
Du könntest tatsächlich auch e^h=2+k nehmen. Dann löst du das wieder nach h auf:
h=ln(2+k)
Dann steht da:
lim(k->0)(2+k-1)/ln(2+k)
Allerdings steht jetzt im Zähler noch +1 und nicht nur k, was für die weiteren Berechnungen ungünstig ist.
MfG
C. Schmidt |
malcolm x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 21:32: |
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hi christian,
vielen dank erstmal, bis zum nächsten mathematischen problem
wir sehn uns, salaam |
