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Beitrag |
    
Sandra
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 23:45: | 
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.....mit Radius 5,5cm?
Ich habe übermorgen Abschlussprüfung in Mathe, und ich bräuchte unbedingt die Differentialrechnung zu dieser Aufgabe, sonst bin ich sozusagen im A....!!!
Ich weiß, dass es das Quadrat ist, wie gesagt, ich bräuchte die Rechnung mit Haupt-, Nebenbedingung, und Zielfunktion.
Der oder die mir helfen kann, wie auch immer, ich bin dieser Person mein Leben lang dankbar!
10000000000000000000000000000000000000 mal Danke im Voraus! |
Zorro
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 07:33: |
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Hallo hasi16 ;-)
so eine schöne Aufgabe für einen Montagmorgen...
Ansatz:
A = a*b
mit
A ... Flächeninhalt des Vierecks
a,b ... Seitenlängen des Vierecks
Nebenbedingung (Pythagoras):
r² = (a/2)² + (b/2)²
b² = 4r² - a²
mit r... Kreisradius
Wenn A ein Maximum bildet, dann wird das Quadrat A² ebenfalls seinen Maximalwert erreichen, also kann man auch ansetzen
A² = a² * b²
A² = a² (4r² - a²)
A² = 4r²a² - a4
wir substituieren a² = x
A² = 4r²x – x²
Bedingung für Maximum: (A²)' = 0
0 = -2x + 4r²
x = 2r²
Rücksubstitution a=Öx
a = Ö2 *r
oder auch
r = a/Ö2
eingesetzt in unsere Ausgangsbedingung
b² = 4r² - a²
b² = 4(a²/2) - a²
b² = a²
und damit (a=b) haben wir das gewünschte Ergebnis (Quadrat) erreicht.
In der Aufgabe war noch nach der Seitenlänge des Quadrats gefragt:
a = Ö2 *r = 7,778cm
Gruß, Zorro |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 21:21: |
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Es ist wirklich nicht meine Absicht, Sandra nochmal ins Zweifeln zu bringen, aber wie überbrückt man den Schritt von Biereck nach Rechteck ?
Einfache Symmetrieargumentation ? |
b
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 21:21: |
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Viereck |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 03:23: |
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Noch ein Lösungsvorschlag am frühen Dienstagmorgen...
Hi Zorro,
ich glaube, ich habe eine Lösung, die nicht von einem Rechteck ausgeht, sondern ein allgemeines Viereck im Kreis zulässt.
Ein Viereck im Kreis lässt sich in vier Dreiecke zerlegen, von denen jedes eine Ecke im Kreismittelpunkt M hat, die anderen beiden Ecken auf der Kreislinie.
Betrachtet man also erstmal ein solches Dreieck, so kann man fragen: für welchen Mittelpunktswinkel 2a hat dieses Dreieck maximalen Flächeninhalt ?
Der Mittelpunktswinkel soll der Winkel zwischen den beiden Dreiecksseiten sein, die in M zusammentreffen, aus rechentechnischen Gründen sei er das Doppelte von a.
Die Dreiecksseite, die M (und damit 2a) gegenüberliegt, heiße a, die Seiten, die so lang sind wie der Kreisradius, heißen r.
Die Länge des Lotes von M auf a heiße h.
Dann gelten die trigonometrischen Beziehungen h = r cosa und a/2 = r sina
und für den Flächeninhalt des Dreiecks: A = h * a/2 = r cosa r sina = sin(a)cos(a) r2
dies ist nach dem Additionstheorem für den Sinus gleich: A = sin(2a)r2/2
also kann man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a als "Zielfunktion" definieren, wobei r eine Konstante ist:
A(a) = sin(2a)r2/2
die Ableitungen ergeben sich nach Kettenregel:
A'(a) = cos(2a) * 2 * r2/2 = r2cos(2a)
A"(a) = - 2 r2sin(2a)
Nullsetzen der ersten Ableitung: A'(a) = 0
r2cos(2a) = 0
2a = 90° (oder -90°, aber das gäbe als symmetrische Lösung nichts neues)
Einsetzen in die zweite Ableitung: A"(45°) = -2r2*1 < 0, also Maximum von A
Also ist die Fläche bei einem Dreieck mit Mittelpunktswinkel 90° maximal, demzufolge hat auch ein Viereck aus vier solchen gleichschenkligen Dreiecken maximale Fläche; da alle vier Seiten gleich lang sind, ist es also ein Quadrat mit Seitenlänge a, aus a/2 = r sina und a = 45° folgt mit gegebenem r natürlich dasselbe wie bei Zorro für a:
a = 7.778.. cm |
Zorro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 12:23: |
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Hallo B.Bernd
Guter Punkt - Einwand akzeptiert ;-)
... schaust du auch noch mal nach der zweiten "Lehrer macht mich fertig"-Aufgabe - die Lösung befriedigt mich noch nicht ganz ...
Zorro |
Sandra
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 13:21: |
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Hi Zorro!
Danke nochmals für deine Hilfe!
Dadurch dass ich deine Rechnung vorlegen konnte, habe ich mir einen Einser für meine MatheMatura geholt!
1000 Dank!
Alles Liebe,
Sandra |
Zorro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 21:01: |
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.. da hab ich aber noch mal Glück gehabt,
mit der Dreieckslösung von B.Bernd wäre sicher noch ein Sternchen mehr drin gewesen ;-)
Zorro *freu* |
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