| Autor |
Beitrag |
    
Maria
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 23:14: | 
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Hallo!
Ich habe gerade Probleme mit der Integration von dieser Funktion:
ò sin³x*cosx*dx
Bitte könnte mir jemand dabei helfen?
Ciao,
Maria |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 23:32: |
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Hallo Maria,
Substitution, wie du in der Überschrift hast, benutzt die Umkehrung der Kettenregel beim Differenzieren.
Wie kannst du also an dem Problem sehen, wo die Kettenregel eine Rolle spielt?
Überlege: Nach Anwendung der Kettenregel steht immer ein Produkt aus f'(x) und verkettetem f(x) da.
Betrachte Dein Problem:
wo kommt dort eine Funktion vor, wo eine Ableitung, die darauf passt?
mit f(x) = sin x hast du eine solche Funktion, ihre Verkettung (in diesem Fall ihre dritte Potenz) wird mit f'(x) = cos x multipliziert.
Wenn du nun weißt, dass die Kettenregel aussagt:
[g(f(x))]' = g'(f(x)) * f'(x),
kannst du diese Gleichung integrieren:
ò [g(f(x))]'dx = ò (g'(f(x)) * f'(x))dx (*)
so dass mit f(x) = sin x und f'(x) = cos x dort auf der rechten Seite steht:
ò (sin3x*cos3x) dx,
weshalb dann die linke Seite von (*) lauten muss:
ò [1/4 * (sin x)4]'dx,
Integral und ' heben sich gegeneinander auf, also ist die Stammfunktion
1/4 * (sin x)4 |
Maria
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 00:31: |
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Hallo Bernd, es tut mir Leid, aber ich kann dir nicht ganz folgen. Ich verstehe nicht, wie du zu cos³x kommst.
Tschüss
Maria |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 01:44: |
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Hallo Maria, erstmal nochmal der ganze Sermon, ohne die 3:
(Technik kann den 00:32 - Beitrag ja löschen)
Substitution, wie du in der Überschrift hast, benutzt die Umkehrung der Kettenregel beim Differenzieren.
Wie kannst du also an dem Problem sehen, wo die Kettenregel eine Rolle spielt?
Überlege: Nach Anwendung der Kettenregel steht immer ein Produkt aus f'(x) und verkettetem f(x) da.
Betrachte Dein Problem:
wo kommt dort eine Funktion vor, wo eine Ableitung, die darauf passt?
mit f(x) = sin x hast du eine solche Funktion, ihre Verkettung (in diesem Fall ihre dritte Potenz) wird mit f'(x) = cos x multipliziert.
Wenn du nun weißt, dass die Kettenregel aussagt:
[g(f(x))]' = g'(f(x)) * f'(x),
kannst du diese Gleichung integrieren:
ò [g(f(x))]'dx = ò (g'(f(x)) * f'(x))dx (*)
so dass mit f(x) = sin x und f'(x) = cos x dort auf der rechten Seite steht:
ò (sin3x*cos x) dx,
weshalb dann die linke Seite von (*) lauten muss:
ò [1/4 * (sin x)4]'dx,
Integral und ' heben sich gegeneinander auf, also ist die Stammfunktion
1/4 * (sin x)4 |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 01:45: |
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Das mit cos3x war'n ••••-ver•••••••••• ••••• K Tippfehler, es sollte nur cos x heißen, das ganze Integral sollte dann so aussehen wie in deiner Fragestellung.
Ich versuchs trotzdem nochmal ganz neu.
Also mit der klassischen Substitution, nur, dass es jeder ein klein wenig anders kennt, weil es irgendwie keine einheitlichen Regeln gibt, das an Schulen zu lehren, ich benutze hier jetzt die Schreibweise mit dx und dz und bitte die Mathematiker, den laschen Umgang mit z(x), z1, z2, z', dz, dx und das gleichzeitige Vorkommen von x und z im Integral zu entschuldigen.
Substitution: z = sin x, das musst du wissen, da kommst du nur durch Ausprobieren und Ignorieren aller Fehlschläge drauf.
dann ist mit z(x) = sin x auch dz/dx= z'(x) = cos x
und damit wird das Integral zu
ò z3cosx dx, jetzt stelle erstmal dz/dx= z'(x) nach dx um:
dx = dz/z'(x)
also hier dx = dz/cos x
und dann wird das Integral zu
ò z3cosx dz/cos x
kürzen ergibt:
ò z3 dz (falls kein unbestimmtes Integral, dann jetzt in den Grenzen von z1 bis z2, wobei z1 = z(x1) und z2 = z(x2) mit den anfangs gegebenen Integralgrenzen x1 und x2
Stammfunktion von z3 ist z4/4,
also für das Integral
[z4/4]
re-substituieren, also für z wieder sin x schreiben, ergibt als Stammfunktion von sin³x cos x
(sin x)4/4 |
Maria
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 12:29: |
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super danke, jetzt hab's auch ich verstanden!!!!
Maria |
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