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Pascal (prolli)
Neues Mitglied
Benutzername: prolli
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 20:26: | 
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Hallo zusammen !
Wie ihr wohl schon bemerkt habt, habe ich grosses Interesse an "ungewöhnlichen" trigonometrischen Gleichungen wie z.B.:
sin(pi/7) * sin(2pi/7) * sin(3pi/7) = sqrt(7)/8
oder
tan(3pi/11) + 4 * sin(2pi/11) = sqrt(11).
Diese Beziehungen sind einerseits sehr knifflig zum Beweisen, und sind zudem auch nicht sehr bekannt, und genau das ist mein Problem: ich bin schon seit längerem auf der Suche nach ähnlichen Gleichungen, finde aber nichts! Weiss denn einer von euch wo es irgend eine Liste davon gibt, oder kann mir zumindest jemand eine weitere nennen?
Besten Dank, P.Rolli
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Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 21:04: |
|
Ich an deiner Stelle würde ein bisschen mit den Additions-
theoremen rumspielen und sehen, was dabei herauskommt !
lg, VL |
Martin (martin243)
Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 13:57: |
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Vielleicht so etwas:
4 arctan 1/2 - arctan 1/239 = p/4
arctan 1/2 + arctan 1/3 = p/4
arctan 1/2 + arctan 1/5 + arctan 1/8 = p/4
8 arctan 1/10 - arctan 1/239 - 4 arctan 1/515 = p/4
? |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 16:30: |
|
Hi Pascal
Es folgen sieben Leckerbissen in der Gestalt
goniometrischer Relationen, zunächst ohne Beweise.
a) cos (2 Pi/7) + cos (4 Pi/7) + cos (6 Pi /7) = - 1 /2
b) sin ( Pi/14) sin(3 PI/14) sin (5 Pi/14) = 1/8
c) cos(Pi/4) cos(Pi/12) +
+ wurzel [{cos(Pi/4)}^2*{cos(Pi/12)}^2 - ½ cos(Pi/6)] =
= cos(Pi/6)
°°°°°°°°°°°
d) cos(Pi/4) cos(Pi/12) -
wurzel [{cos(Pi/4)}^2*{cos(Pi/12)}^2 - ½ cos(Pi/6)] =
= cos(Pi/3)
°°°°°°°°°°°
e) tan 25° + 2 tan 50° + 4 tan100° + 8 cotg 200° = cotg 25°
f) [4* tan 10° *{1- (tan 10°) ^ 2}] / [{1 + (tan 10°) ^2 }^2] =
= sin 40°
°°°°°°°°°°
g) sin 39° = [wurzel (3+wurzel(5)) + wurzel (5-wurzel(5)) +
+ wurzel (9 + 3*wurzel(5)) - wurzel (15 – 3*wurzel(5)) ] / 8
Anmerkung
Die beiden ersten Relationen habe ich heute morgen ausführlich
in meiner Antwort an „Dani“ behandelt ; siehe dort !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. April, 2002 - 07:29: |
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Hi Pascal,
Es ist instruktiv, für die von mir genannten
goniometrischen Relationen Beweise zu suchen
und wenn möglich auch zu finden!
Dabei kommen ganz verschiedene Methoden zum Einsatz.
Nehmen wir das Beispiel e):
Die Behauptung lautet:
tan 25° + 2 tan 50° + 4 tan100° + 8 cotg 200° = cotg 25°
Wir beweisen die Verallgemeinerung :
tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8 cotg 8x = cotg x ::::::: I )
Dazu benötigen wir eine Hilfsformel, die so lautet:
tan x = cotg x - 2 cotg x ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: II )
Beweis von (II):
Wir betrachten die Funktion
f(x) = tan x - cotg x + 2 cotg 2x und zeigen durch
Ermittlung der Ableitung f ´(x), dass f(x) eine
Konstante k ist ; zugleich stellen wir fest, dass k = 0
gilt
Für f(x) schreiben wir
f(x) = tan x - 1 / tan x + 2 / tan 2x ,damit
f ´(x) = 1/ (cos x)^2 + 1/ [(tan x)^2*(cos x)^2]
- 4 / [(tan 2x)^2*(cos 2 x)^2] =
= 1/ (cos x)^2 + 1 / (sin x)^2 – 4 / (sin 2x)^2 =
= [4 (sin x)^2+4 (cos x)^2 - 4 ] / [4(sin x)^2*(cos x)^2] = 0
somit ist f(x) = k; setzen wir x = 1, so kommt f(1) = 0,
also k = 0.
Nun ersetzen wir in der Formel (II) der Reihe nach
x durch 2x und 4x; wir erhalten die Formeln.:
tan 2x = - cotg 2x + 2 cotg 4x ::::::::::::::::::::::::::::III)
tan 4x = - cotg 4x + 2 cotg 8x ::::::::::::::::::::::::::::IV)
Ersetzt man in (I) tan x gemäss (II), tan 2x gemäss (III)
und tan 4x gemäss (IV), so steht auf der
linken Seite von (I) ctg x allein, die ubrign Terme
heben sich alle weg !
w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Pascal (prolli)
Neues Mitglied
Benutzername: prolli
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. April, 2002 - 09:33: |
|
Hallo megamath
Vielen Dank erst Mal für die Formeln und die Herleitungen!
zu g): ich nehme an, sin(39°) lässt sich durch Wurzeln ausdrücken, da 5 * 39° - 15° = 180°, aber wie kommt man auf den Wert ?
Gruss, P. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 09:57: |
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Hi Pascal,
Es folgt nun die Herleitung der Relation g ):
z = sin 39° = [wurzel (3+wurzel(5)) + wurzel (5-wurzel(5)) +
+ wurzel (9 + 3*wurzel(5)) - wurzel (15 – 3*wurzel(5)) ] / 8
Dies gelingt mit der Zerlegung
z = sin 39° = cos 51° = cos(36° +15°)……………………………..(1)
Weiterhin benötigen wir einige Hilfsformeln.
Der Winkel 36° spielt bekanntlich bei der Teilung einer Strecke
nach dem goldenen Schnitt eine Rolle.
Daher führen wir den Term
T = ½ (wurzel(5) + 1) ......................................................................(2)
ein, der in diesem Umfeld eine zentrale Rolle spielt.
Es gelten die Relationen:
T ^ 2 = T + 1.....................................................................................(3)
cos 36° = ½ T...................................................................................(4a)
sin 36° = ½ * wurzel(3 – T).............................................................(4b)
Ferner folgt aus den Halbwinkelformeln der Kosinus - und
Sinusfunktion:
cos 15° = wurzel [ ½ (1+ ½ wurzel(3)] =
= ½ wurzel [2+wurzel(3)] = ¼ * wurzel [ 8 + 4 * wurzel(3)] ,also
cos 15° = ¼ * {wurzel(6) + wurzel(2)}...........................................(5a)
analog:
sin 15° = wurzel [ ½ (1 - ½ wurzel(3)] =
= ½ wurzel [2-wurzel(3)] = ¼ * wurzel [ 8 - 4 * wurzel(3)] ,also
sin 15° = ¼ * {wurzel(6) - wurzel(2)}...........................................(5b)
Für den Kosinus der Summe in (1) schreiben wir mit Hilfe des
Additionstheorems :
z = cos 36° cos 15° - sin 36° sin 15° ; mit (4) und (5) wird daraus :
z = 1/8 * [T* {wurzel (6) + wurzel(2)}
- wurzel (3-T) *{wurzel (6) - wurzel(2)};
wir ersetzen gemäss (3) T durch wurzel(1+T) und nach
einer kleinen Umstellung kommt:
z = 1/8* [ wurzel(2)* wurzel(1+T)+wurzel(2)*wurzel(3 – T)+
+ wurzel(6)*wurzel(1+T) - wurzel(6)*wurzel(3-T) ]
Daraus wird schliesslich die unter g ) erwähnte Relation,
wenn man T gemäss (2) durch den Term mit wurzel(5) ersetzt.
z = 1/8*[wurzel (3+wurzel(5)) + wurzel (5-wurzel(5)) +
+ wurzel (9 + 3*wurzel(5)) - wurzel (15 – 3*wurzel(5))]
was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Pascal (prolli)
Mitglied
Benutzername: prolli
Nummer des Beitrags: 88
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 10:53: |
|
Vielen Dank! Ich finde es echt toll, dass es Leute wie Sie gibt, die sich die Zeit nehmen um solche (im prinzip unwichtigen aber interessanten) Themen zu behandeln. Ich muss Sie jetzt schon wieder mit einer Frage belästigen: Lässt sich die zweite von den beiden Gleichungen die ich im ersten Beitrag erwähnt habe auch so elegant beweisen oder muss man hier den Umweg über die komplexe Exponentialfunktion nehmen? Leider haben bei mir beide Varianten bisher nicht zum Erfolg geführt...
Mit freundlichen Grüssen, P. |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 13:55: |
|
Ein Leckerlie habe ich auch noch:
Sin12°=(Wurzel(2*(5+wurzel(5)))-wurzel(15)+wurzel(3))/8
cos12°=(Wurze(36+4*wurzel(5)+2*Wurzel(2*(5+wurzel(5)))*(wurzel(15)-wurzel(3)))/8
sin9°=Wurzel((4-Wurzel(2*(5+wurzel(5))))/8)
cos9°=Wurzel((4+Wurzel(2*(5+wurzel(5))))/8)
Gruß N.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 16:40: |
|
Hi Pascal , Hi Niels
Hier noch ein Bijou:
h) tan 144° + ½ tan 72° + ¼ tan 36° + 1/8 tan 18° + 1/16 tan 9° =
= 1/16 cotg 9° - 2 cotg 288°.
Gruss
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 18:00: |
|
Hi Pascal,
Eine Herleitung Deiner zweiten Relation, d.h der Beziehung
tan(3Pi/11) + 4 * sin(2Pi/11) = sqrt(11)……………………………®
mit elementaren Methoden fällt mir gerade nicht ein.
Hingegen möchte ich auf ein früher hergeleitetes Resultat
bezüglich einer Gleichung fünften Grades hinweisen,
mit der sich das Resultat ® bestätigen lässt.
Sei t = Pi/11und y = 2 * cos (2t)..............................................(1)
Dann erfüllt y die Gleichung
F(y) = y ^5 + y^4 – 4y^3 - 3y^2 + 3 y + 1 = 0………………(2)
Wir prüfen nun, ob der in (1) definierte y-Wert auch die
Relation ® erfüllt.
Wir stellen sin t , cos t , tan t, sin 2t und tan 3t als Funktionen
von y dar.
Aus cos (2 t) = ½ y folgt zunächst mit den bekannten
Halbwinkelformeln
cos t = cos (Pi/11) = ½ wurzel(2+y)
sin t = sin (Pi/11) = ½ wurzel(2-y)
tan t = tan (Pi/11) = wurzel[(2-y) / (2+y)]
sin (2t) = sin(2Pi /11) = 2 sin t cos t = ½ wurzel [ 4- y ^ 2 ]
tan (3t) = tan(3Pi /11) =
= {3 tan t - (tan t)^3 }/{ 1- 3 * (tan t) ^ 2] =
= [(y +1)*wurzel(2-y)] / [(y – 1 )*wurzel(2+y)]
Die zu beweisende Relation lautet in der gewählten
Schreibweie und gemäss obiger Vorbereitung :
[(y +1)*wurzel(2-y)] / [(y – 1 )*wurzel(2+y)] +
+ 2*wurzel(2+y)*wurzel(2-y) = wurzel(11) oder
wurzel(2-y)/wurzel(2+y)* [(2y^2+3y-3) /(y-1)] = wurzel(11)
Wir quadrieren ,schaffen die Brüche weg und finden die
Beziehung
(2y^2 +3y – 3)^2 * (2-y) – 11 (y-1)^2*(2+y) = 0
Löst man alle Klammern , so ergibt sich auf der linken Seite :
- 4 y ^5 – 4 y ^4 + 16 y^3 + 12 y^2 - 12 y - 4
und dies ist nach (2) null, wie es sein muss.
Gruss
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 18:04: |
|
Hi Pascal,
Eine Herleitung Deiner zweiten Relation, d.h der Beziehung
tan(3Pi/11) + 4 * sin(2Pi/11) = sqrt(11)……………………………®
mit elementaren Methoden fällt mir gerade nicht ein.
Hingegen möchte ich auf ein früher hergeleitetes Resultat
bezüglich einer Gleichung fünften Grades hinweisen,
mit der sich das Resultat ® bestätigen lässt.
Sei t = Pi/11und y = 2 * cos (2t)..............................................(1)
Dann erfüllt y die Gleichung
F(y) = y ^5 + y^4 – 4y^3 - 3y^2 + 3 y + 1 = 0………………(2)
Wir prüfen nun, ob der in (1) definierte y-Wert auch die
Relation ® erfüllt.
Wir stellen sin t , cos t , tan t, sin 2t und tan 3t als Funktionen
von y dar.
Aus cos (2 t) = ½ y folgt zunächst mit den bekannten
Halbwinkelformeln
cos t = cos (Pi/11) = ½ wurzel(2+y)
sin t = sin (Pi/11) = ½ wurzel(2-y)
tan t = tan (Pi/11) = wurzel[(2-y) / (2+y)]
sin (2t) = sin(2Pi /11) = 2 sin t cos t = ½ wurzel [ 4- y ^ 2 ]
tan (3t) = tan(3Pi /11) =
= {3 tan t - (tan t)^3 }/{ 1- 3 * (tan t) ^ 2] =
= [(y +1)*wurzel(2-y)] / [(y – 1 )*wurzel(2+y)]
Die zu beweisende Relation lautet in der gewählten
Schreibweie und gemäss obiger Vorbereitung :
[(y +1)*wurzel(2-y)] / [(y – 1 )*wurzel(2+y)] +
+ 2*wurzel(2+y)*wurzel(2-y) = wurzel(11) oder
wurzel(2-y)/wurzel(2+y)* [(2y^2+3y-3) /(y-1)] = wurzel(11)
Wir quadrieren ,schaffen die Brüche weg und finden die
Beziehung
(2y^2 +3y – 3)^2 * (2-y) – 11 (y-1)^2*(2+y) = 0
Löst man alle Klammern , so ergibt sich auf der linken Seite :
- 4 y ^5 – 4 y ^4 + 16 y^3 + 12 y^2 - 12 y - 4
und dies ist nach (2) null, wie es sein muss.
Gruss
H.R.Moser,megamath
|
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 18:18: |
|
Das kann ich kontern mit der für Megamath wohlbekannten Formel:
cot²(pi/11)+cot²(2pi/11)+cot²(3pi/11)+cot²(4pi/11)+cot²(5pi/11)=15
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 20:58: |
|
Hi Niels,
BRAVISSIMO !
Gruss
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. April, 2002 - 21:19: |
|
Hi Niels, Hi Pascal,
Ich möchte gegen - kontern:
(sin 1°)^2*tan 1°+(cos 1°)^2*cotg 1°+sin 2° = tan1°+cotg 1°
Gruss
H.R.Moser,megamath
|
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 19:21: |
|
Ein habe ich da auch noch:
csc²(pi/7)+csc²(2pi/7)+csc²(3pi/7)=8
Gruß N. |
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