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Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. März, 2002 - 16:15: | 
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Wer kann mir hierbei helfen? Ich blick hier nämlich nicht durch.
Aufgabe:
Für welchen Punkt des Schaubildes der Fkt. f(x)=Wurzelx geht die Tangente durch A(o/1)(durchB(1/1,25).Gib die Gleichung der Tangente an:
Hier muss ich ja erst ableiten. Also 1/2Wurzelx. Das ist dann auch die Steigung der Tangente. Und wie mach ich das nun durch einen bestimmten Punkt?Mehr kann ich nicht rechnen.
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A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 08:19: |
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Hallo Julia
sei B(xo|yo) der Berührpunkt von Tangente und Kurve
Die Steigung im Berührpunkt ist gleich der Steigung der Tangente; also
f'(x)=1/(2wurzel(x))
=> f'(xo)=1/(2wurzel(xo))=m
Nun setzen wir die Steigung und den Punkt A(0|1) in die allgemeine Geradengleichung ein:
y=mx+b
1=0*m+b => b=1
y=1/(2wurzel(xo))*x+1
Da B(xo|yo) mit yo=wurzel(xo) auf der Tangente liegt, setzen wir nun die Koordinaten von B in die Tangentengleichung ein und erhalten
wurzel(xo)=1/(2wurzel(xo))*xo+1
<=> wurzel(xo)=(1/2)wurzel(xo)+1
<=> 1/2*wurzel(xo)=1
<=> wurzel(xo)=2
=> xo=4
=> yo=wurzel(4)=2
Also B(4|2) und Tangentengleichung
y=1/4*x+1
Mfg K. |
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 21:47: |
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Hallo Julia!
A.K. hat die erste Aufgabe sehr gut gelöst. Ich versuche nun die 2. Aufgabe, bei der die Tangente durch den Punkt B (1/1,25) geht. Ich bezeichne dabei den Berührpunkt von Tangente und Kurve mit C(xo/yo).
Ich verwende die selbe Steigung, die A.K. und Du schon durch ableiten der Funktion berechnet hat, nämlich 1/(2*W(xo))=m.
Wir setzen den Punkt B(1/1,25) und die Steigung in die Geradengleichung ein:
y=m*x+b
1,25=(1/(2*W(xo)))*1+b
W...bedeutet Wurzel aus
Da diese Gerade auch durch den Punkt C(xo/yo) gehen muß, setzen wir diesen Punkt auch in die Geradengleichung ein. Statt yo schreiben wir aber W(xo) weil yo=W(xo):
W(xo)=(1/(2*W(xo)))*xo+b
W(xo)=(W(xo))/2 +b
Aus der oberen Gleichung rechnen wir nun b aus, und setzen es in diese Gleichung ein:
1,25=(1/(2*W(xo)))*1+b |*(2*W(xo))
2,5*W(xo)=1+b*2*W(xo) |-1
2,5*W(xo)-1=b*2*W(xo) |/(2*W(xo))
b=(2,5*W(xo)-1)/(2*W(xo))
=>in die 2. Gleichung einsetzen:
W(xo)=(W(xo))/2 + (2,5*W(xo)-1)/(2*(W(xo)) |*(2*W(xo))
2*xo=xo + 2,5*W(xo)-1 |-xo |+1
1+xo=2,5*W(xo) |²
1+2*xo+xo²=6,25*xo |-(6,25*xo)
xo²-4,25*xo+1=0
=>xo1=(4,25+W(4,25²-(4*1*1)))/2=4
=>xo2=(4,25-W(4,25²-(4*1*1)))/2=0,25
=>yo1=W(4)=2
=>yo2=W(0,25)=0,5
Es gibt also 2 Punkte, bei der die Tangente durch den Punkt B(1/1,25) geht, nämlich (4/2) und (0,25/0,5)
Wir rechnen nun für beide Punkte b mit der Formel
b=(2,5*W(xo)-1)/(2*W(xo))
aus. (Diese Formel wurde oben aus der 1. Gleichung hergeleitet.)
1. Punkt (4/2):
b=(2,5*W(4)-1)/(2*W(4))=1
Die Steigung m ist
m=1/(2*W(4))=0,25
Die Tangentengleichung für den 1. Punkt sieht also so aus:
y=0,25*x+1
2. Punkt (0,25/0,5):
b=(2,5*W(0,25)-1)/(2*W(0,25))=0,25
Die Steigung m ist
m=1/(2*W(0,25))=1
Die Tangentengleichung für den 2. Punkt sieht also so aus:
y=1*x+0,25
Ich hoffe, Du verstehst den Lösungsweg, auch wenn er etwas kompliziert ist.
Liebe Grüße -
Andi |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 10:51: |
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Ich danke euch!!!
Bin jeden Schritt einzeln durchgegangen und habs nun verstanden, wobei ich nicht direkt gesehen hätte auch einen Punkt C zu berechnen.
Aber wenn die Aufgabe anders heisst, weiss ich bestimmt nicht wie man das rechnet. Bei der Aufgabe von der Katja zum Beispiel wüsste ich nicht wie ich das berechnen soll.
Aber ich hoffe mal in der Arbeit kommt so eine Aufgabe dran wie diese nur mit anderen Werten, denn die kann ich ja jetzt.
Könnte man denn nicht allgemein für jede Aufgabe sagen, erst die Ableitung (m), dann Geradengleichung, dann b, dann in die Tangentengleichung einsetzen.(Je nach Aufgabe noch die Normale berechnen)???
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Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 11:58: |
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Hallo nochmal!!!
Hab nun vielleicht doch einen Weg gefunden Katjas Aufgabe zu lösen(zumindest die a)
Bitte, bitte schaut ob das auch stimmt!!!
Also gegeben ist m=4
gesucht ist P(xo/yo)der diese Steigung hat
1. Aufgabe:
Ableitung:
f(x)=1/3xo² -> f`(x)=2/3xo²
X bekomme ich indem ich Zahlen einsetze bis die Steigung m=4 rauskommt:
x= 6 (da 2/3*6 = 4)
also ist y:
y= 2/3x
y=4
P(x/2/3x) = P(6/4)
An dem Punkt (6/4) hat die Tangente die Steigung 4
Nun c errechnen:
y= m*x+c
4= 4*6+c /-4/-c
-c= 24-4
-c=20 /: (-1)
c=-20
in die Tangentengleichung einsetzen:
y=4*x-20
2.Aufgabe mit f(x)=-0,4x² m=-2
das Gleiche:
Ableitung:
f(x)= -0,4x² -> f`(x)= -0,8x
m=-2
Einsetzen:
x=2,5
y=-0,8*(2,5)
y=-2
c errechnen:
y= m*x+c
-2=-2*2,5+c /-c/+2
-c= -5+2
-c= -3 /: (-1)
c=3
y=-2*x+3
b) gesucht P(xo/yo)
gegeben:f(x)=2x² parallel zur Geraden
g(x)=1/3x+4
Tangente hat die gleiche Steigung wie die Gerade.
Also:
Ableitung:
f(x)=2x² -> f`(x)=4x also 4
Funktion gleichsetzen:
2x² = 1/3x+4
2x²-1/3x-4 :2
x²-1/6x-2
p/q Formel:
x1/2 =1/12 +/- Wurzel 1/144 + 2
=1/12 +/- W 1/144 + 288/144
=1/12 +/- W 288/144
=1/12 +/- W 2/1
=1/12 +/- W 24/12
x1= 1/12 + W24/12
x2= 1/12 - W24/12
Die Ergebnisse sehen aber komisch aus?!?
Wenn das richtig ist wie müsste ich dann weiter rechnen?
Schaut euch bitte mal an ob ich wenigstens etwas davon richtig |
NinaKehler
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 17:18: |
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Hallo Julia,
Wer ist Katia?
Bitte öffne für neue Fragen einen neuen Beitrag! |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 19:25: |
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Sorry NinaKehler! Werde ich beim nächsten Mal machen!
Das ist der 3.Beitrag unter Differentialrechnung/Sonstiges
Der lautete:
a) An welcher Stelle xo hat das Schaubild der Fkt. f mit f(x) = 1/3x²(mit f(x)=-0,4) die Steigung 4(-2)?
b)In welchem Punkt Po(xo/f(xo)) verläuft die Tangente an das Schaubild von f(x)= 2x²(von f(x)=-1/4x²) parallel zur Geraden g(x)=1/3x+4?
c)In welchen Punkten des Schaubildes von f(x)=2/x ist die Tangente zur 1. Winkelhalbierenden(zur Geraden g(x) = 1/2x) orthogonal?
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Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 20:38: |
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Hallo Julia!
Tut mir leid, daß ich erst jetzt antworte, aber ich hatte leider bis jetzt Dienst und bin nicht früher dazu gekommen.
Bei dem Beispiel, daß Du als erstes aufgeschrieben hast, habe ich als Punkt C den Punkt bezeichnet, der auf der ursprünglichen Funktion liegt, und durch den die gesuchte Gerade geht. Das ist notwendig, weil es ja notwendig ist, den Punkt zu berechnen, an dem die gesuchte Gerade die Funktion berührt. Der Punkt C hat in diesem Beispiel die Koordinaten (xo/yo). (Ich habe sie mit xo und yo bezeichnet, um eine Verwechslung mit dem Punkt B(1/1,25) zu vermeiden.)
Nun aber zu den Aufgaben, die Du jetzt noch aufgeschrieben hast:
a)1. Aufgabe:
Wie Du richtig erkannt hast, ist der Punkt P(xo/yo) gesucht, in dem die Funktion f(x)=1/3 *x² die Steigung m=4 hat.
Als erstes berechnen wir die Ableitung:
f(x)=1/3 *x => f'(x)=2/3 *x (nicht f'(x)=2/3 *x²)
Die Steigung (m) der Tangente ist also 2/3 *x
Wir schauen nun, bei welchem x-Wert die Steigung m=4.
2/3 *x=4
=>x=6 (gleiches Ergebnis, wie Du)
Bei der Berechnung von y hast Du allerdings einen kleinen Fehler gemacht. Um y zu berechnen verwendet man nun nicht wie Du die Ableitungsfunktion f'(x)=2/3 *x, sondern die ursprüngliche Funktion f(x)=1/3 *x².
y=1/3 *6²
y=12
Die Tangente hat also genau im Punkt P(6/12) die Steigung 4. Nun berechnen wir die Tangentengleichung:
Die Tangente ist eine Gerade. Wie Du richtig geschrieben hast, hat die Funktion einer Geraden die Form:
y=m*x+c
Wir setzen nun alles ein, was wir kennen: Für y=12, für m=4 und für x=6. Damit können wir c berechnen:
12=4*6+c
12=24+c |-24
c=-12
Die Tangentengleichung sieht also so aus:
y=4*x-12
2. Aufgabe:
f(x)=-0,4*x²
Gesucht ist der Punkt P(xo/yo), bei dem die Tangente die Steigung m=-2 hat.
Ableitung:
f'(x)=-0,8*x
-0,8*x=-2 (m)
=>x=2,5
Auch hier verwendet man zur Berechnung von y nicht die Ableitungsfunktion, sondern die ursprüngliche Funktion f(x)=-0,4*x².
y=-0,4*2,5²
y=-2,5
Die Funktion der Tangente hat die Form:
y=m*x+c
Da wir y, m und x kennen, können wir c berechnen:
-2,5=-2*2,5+c
-2,5=-5+c |+5
c=2,5
Die Tangentengleichung sieht also so aus:
y=-2*x+2,5
b) 1. Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2*x²
Gesucht ist der Punkt P(xo/yo), bei dem die Tangente parallel zur Geraden g(x)=1/3 *x+4 verläuft.
Zuerst leiten wir die Funktion f(x) ab:
f(x)=2*x² => f'(x)=4*x
Die Steigung der gegebenen Geraden g(x)=1/3 *x+4
ist 1/3.
Also müssen wir schauen, bei welchem x die Ableitung f'(x) genau 1/3 ist:
4*x=1/3
x=1/12=0,083
Aus der ursprünglichen Funktion können wir uns y ausrechnen:
y=2*0,083²
y=0,014
Die Tangente verläuft also genau im Punkt P(0,083/0,014) mit der Steigung 1/3.
2. Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x)=-1/4 *x²
Gesucht ist der Punkt P(xo/yo), bei dem die Tangente parallel zur Geraden g(x)=1/3 *x+4 ist, also die Steigung 1/3 hat.
f'(x)=-0,5*x
Nun schauen wir wieder, bei welchem x die Steigung genau 1/3 ist:
-0,5*x=1/3
x=0,67
Nun rechnen wir mit der ursprünglichen Funktion y aus:
y=-1/4 *0,67²
y=-0,11
Die Tangente verläuft also genau im Punkt P(0,67/-0,11) mit der Steigung 1/3.
Ich hoffe, ich konnte Dir bei der Lösung dieser Aufgaben helfen. Ich weiß, daß es etwas kompliziert ist, aber wenn Du Dich noch nicht auskennst, kannst Du ja nochmal schreiben.
Liebe Grüße -
Andi |
Julia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 13:32: |
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Danke Andi!!!
Hab nun verstanden was ich falsch gemacht habe. Aber kann es sein das du einen Fehler gemacht hast? Bei der Aufgabe b)2. Aufgabe:Müsste da nicht für das x= -0,67 rauskommen und dann bei y=0,11?
Da unser Lehrer am liebsten möchte das wir mit Brüchen rechnen(was ich nicht gut kann)hab ich nun für x=1/6 geschrieben. Aber beim ausrechnen von y(-1/4*1/6²)komm ich nicht auf die -0,11 was ja 1/9als Bruch sein müsste. Ich komm nur auf 1/144. Kannst du mir vielleicht das y mit Brüchen vorrechnen?
Das wäre wirklich sehr nett von dir!!! |
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 17:19: |
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Hallo Julia!
Du hast tatsächlich recht. Ich habe mich bei der Aufgabe b) 2. Aufgabe geirrt (sorry). Weil man ja 1/3 / -0,5 rechnet, kommt natürlich eine negative Zahl heraus. (+ dividiert durch - gibt -)
x ist also dann -0,67
Ich rechne es aber nun mit Brüchen:
-1/2 *x=1/3 |/(-1/2)
x=(1/3) / (-1/2)
(Zwei Brüche werden miteinander dividiert, indem man sie mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert)
Der Kehrwert von (-1/2) ist (-2/1)
x=(1/3) * (-2/1)
x=-2/3
Achtung: -2/3 =-0,67, -1/6=-0,167
In diesem Fall ist dann
y=(-1/4) * (-2/3)²
y=(-1/4) * (4/9)
y=-4/36
y=-1/9
Kurze Erklärung zu meinem Ergebnis: Obwohl ich bei der Berechnung von x einen Vorzeichenfehler gemacht habe, ist das y trotzdem negativ, weil sich durch das Quadrieren des x, das Vorzeichen wieder in ein positives ändert.
(2/3)²=4/9
(-2/3)²=4/9
Daß Du für y=1/144 herausbekommst liegt daran, daß Du für x=(-1/6) eingesetzt hast, der richtige Wert ist aber (-2/3). Für den y-Wert bekommt man dann auch (-1/9) heraus, was ja -0,11 entspricht.
Die Tangente verläuft also genau im Punkt (-2/3 / -1/9) mit der Steigung 1/3.
Ich möchte mich nochmal für meinen Fehler entschuldigen. Wenn Du Dich noch nicht auskennst, kannst Du ja nochmal schreiben.
Liebe Grüße -
Andi |
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