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Christine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 15:06: | 
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Hallöchen!
Ich hoffe, mir kann jemand helfen! Ich bin nämlich schon am verzweifeln!
Ich bekomme einfach keine Kurvendiskussion hin!
Die Funktion lautet: F(x)= x^4 - 5x^2 + 6
Bitte, bitte erklärt mir jeden Schritt, den ich machen muss! |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 16:01: |
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Hallo Christine,
berechne die ersten beiden Ableitungen
f'(x)=4x^3-10x
f''(x)=12x^2-10
1. Definitionsmenge= R, da in der Funktion kein Bruch, keine Wurzel und auch ln nicht vorkommt
2. f achsensymmetrisch, da nur gerade Hochzahlen vorkommen
3. Schnittpunkt mit der y-Achse : setze x=0 in f ein
4. Schnittpunkte mit der x - Achse - dies sind die Nullstellen von f. Setze also f(x)=0
x^4-5*x^2+6=0 (+)
alle Hochzahlen lassen sich durch 2 teilen. Wenn Du als höchste Hochzahl eine 2 hättest, hättest Du eine quadratische Gleichung, die Du lösen könntest.
setze z=x^2 in (+) ein
z^2-5z+6=0 die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung sind z1=3 und z2=2
Da z=x^2 ist, sind also
x1=Wurzel(3),
x2=-Wurzel(3),
x3=Wurzel(2)
x4=-Wurzel(2) die Nullstellen der Funktion
5. lokale Extrema
f'=!0 muß gelöst werden
4x^3-10x=0 x ausklammern
x*(4x^2-10)=0, d.h. x=0 oder 4x^2=10, d.h.
x=0 oder x^2=)10/4=5/2
setze nun diese Werte für x in f'' ein. Ist das Resultat >0, liegt ein lokales Minimum vor, ist das Resultat <0, liegt ein lokales Maximum vor.
6. Wendepunkte
setze f''=0, d.h. 12x^2-10=0, d.h. x^2=10/12=5/6,
d.h. bei x5=Wurzel(5/6) und x6= -Wurzel(5/6) können Wendepunkte von f sein.
Um zu überprüfen, ob für diese x - Werte Wendepunkte vorliegen, setze sie in f''' ein
Im Prinzip kann man immer so vorgehen, hoffentlich habe ich keine Rechenfehler gemacht.
Man könnte noch überprüfen
Verhalten für x gegen +-unendlich
Gleichung der Wendetangenten, aber dies hängt davon ab, was ihr normalerweise in der Schule macht. |
Julie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 16:12: |
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Hi Christine!
Zunaechst schauen wir uns mal die Nullstellen der Funktion an. Dazu kann man eine Substitution x^2 = z vornehmen, da die Funktion biquadratisch ist (es tauchen keine Terme mit x,x^3 auf). Also such wir erstmal die Nullstellen von z^2 - 5z+6, und die sind 2 und 3.
Entsprechend sind dann die von F gegeben als
Wurzel(3), -Wurzel(3), Wurzel(2) und -Wurzel(2)
Die Schnittpunkte mit der y-Achse ist der Wert
F(0) = 6
Die Funktion erfuellt
F(-x) = (-x)^4 + 5(-x)^2 + 6 = x^4 - 5x^2 + 6 = F(x), ist also achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die Ableitungen lauten:
F'(x) = 4x^3 - 10x
F''(x) = 12x^2 - 10
F'''(x) = 24 x
Die Extremstellen sind Nullstellen der ersten Ableitung und die lauten: 0, 1/2*Wurzel(10), -1/2*Wurzel(10).
Um zu testen, ob wirklich Extrema vorliegen und welcher Art diese sind, muss man die Werte der zweiten Ableitung an den oben angegebenen Stellen berechnen, die sind
F''(0) = -10 <0 ==> Maximum
F''(1/2*Wurzel(10) = 20 >0 ==> Minimum
F''(1/2*(-Wurzel(10) = 20>0 ==> Minimum
Die Wendestellen sind Nullstellen der zweiten Ableitung, und die lauten:
1/6*Wurzel(30), -1/6*Wurzel(30)
Wieder muss man testen, ob wirklich Wendestellen vorliegen, indem man diesmal in die dritte Ableitung einsetzt:
F'''(1/6*Wurzel(30)) = 4Wurzel(30) ungleich Null
F'''(-1/6*Wurzel(30)) = -4Wurzel(30) ungleich Null
also sind es tatsaechlich Wendestellen.
Habe ich noch etwas vergessen? Ach ja, zeichnen muss man die Funktion ueblicherweise noch, das musst Du schon selber machen.....
Alles Gute
Julie |
Christine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 16:27: |
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Vielen Dank Ihr 2!
Ihr habt mir sehr geholfen! Ich hab da nur nochmal eine Frage, wie berechne ich denn nochmal die Ableitungen? Bin leider net so ein Mathegenie! Wäre lieb, wenn mir das nochmal jemand erklären würde!
Alles Liebe
Christine |
Julie
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 17:06: |
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Hi christine!
Die Ableitung von x^n ist n*x^(n-1). Also zum Beispiel ist die Ableitung von x^4 gerade 4*x^(4-1) = 4*x^3. Faktoren vor dem x^n bleiben einfach erhalten, d.h. die Ableitung von k*x^n fuer eine Zahl k ist k*n*x^(n-1). Beispiel: Die Ableitung von 3*x^4 ist 3*4*x^3 = 12x^3. Die Ableitung von einer Summe von solchen Termen ist die Summe der Ableitungen (das heisst, du kannst jeden Term einzeln ableiten).
Julie |
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