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Gleichung für Mittelsenkrechte in ein...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Gleichungen/Ungleichungen » Sonstiges » Gleichung für Mittelsenkrechte in einem Dreieck « Zurück Vor »

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Pari (Samra)
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 16:06:   Beitrag drucken

hi, wie berechnet man die Mittelsenkrechten in einem Dreieck und wie erhält man dann dazu die Gleichung???
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Zorro
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 21:11:   Beitrag drucken

Also Pari, auf zur Mittelsenkrechte eines Dreiecks.

Wir brauchen die 2 Endpunkt der Dreiecksseite, für die die Mittelsenkrechte ermittelt werden soll.

P1(x1;y1)
P2(x2,y2)

der allgemeine Ansatz zur Bestimmung der Geradengleichung dieser Dreieckseite

y1 = md*x1 + nd
y2 = md*x2 + nd

durch Subtraktion

(y1-y2) = md ( x1-x2)
md = (y1-y2)/(x1-x2)

md ist die Steigung der Geradengleichung der Dreieckseite

Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf dieser Gerade.
Die Steigung ms der Mittelsenkrechte berechnet man mit:

ms = -1/md

zur Begründung kannst du dich wieder an das Steigungsdreieck erinnern:
md = (y1-y2)/(x1-x2)

wenn du eine senkrechte dazu einzeichnest, dann hat sie die Steigung
ms = -(x1-x2)/(y1-y2) = -1/md

Beachte: x1, x2, y1, y2 beziehen sich im obigen Beispiel noch auf die Gerade der Dreieckseite (mach dir dzu am besten eine Skizze und nimm ein einfaches Zahlenbeispiel dafür)
z.B. x1=5; x2=1; y1=3; y2=1
md = (5-1)/(3-1) = 4/2 = 2
das Steigungsdreieck einer Senkrechten dazu
ms = -2/4 = -1/2 = -1/md

Zurück zu deiner Frage:
Wir haben jetzt die Steigung bestimmt. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts ns benötigen wir noch einen Punkt. Bekannt ist der Fußpunkt der Mittelsenkrechten – der Mittelpunkt der Dreieckseite

xm = ½ (x1+x2)
ym = ½(y1+y2)

Setzen wir jetzt alles zusammen:

y = ms*x + ns
mit ms = -(x1-x2)/(y1-y2)

y = -(x1-x2)/(y1-y2)*x + ns

Setzen wir xm und ym ein
½(y1+y2) = [-(x1-x2)/(y1-y2)] * ½ (x1+x2) + ns

ns = ½(y1+y2) / [-(x1-x2)/(y1-y2) * ½ (x1+x2)]
ns = - [(x1-x2)(y1-y2)] / [(x1-x2)(x1+x2)]
ns = - [(x1-x2)(y1-y2)] / (x1²-x2²)

Oje, was für ein Monstrum ...
Unsere Mittelsenkrechte erhalten wir jetzt zu:

ys = -(x1-x2)/(y1-y2)*x - [(x1-x2)(y1-y2)] / (x1²-x2²)

... hoffentlich hast du an dieser Gleichung deine Freude ;-)
aber wenn man das ordentlich hinschreibt, wird's viel übersichtlicher.

Gruß, Zorro

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