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Beweis des Additionstheorems

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Trigonometrie » Beweis des Additionstheorems « Zurück Vor »

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benny
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 10:40:   Beitrag drucken

Hallo!

Kann mir jemand bitte folgendes Additiontheorem beweisen und erklären?

sin(x+h)=sin x * cos h + cos x * sin h

wär echt nett wenn mir einer helfen könnte.

Danke
Benny
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Percy
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 16:01:   Beitrag drucken

Hallo Benny,

Zu beweisen ist also das Additionstheorem der Sinusfunktion...

Mir sind 3 Methoden bekannt...

a) Beweis am Einheitskreis:

(Voraussetzung:
Winkelfunktionsdiffinitionen im rechtwinkligen Dreieck)

b) Beweis am Dreieck:

(Voraussetzung:
Sinussatz und noch ein par andere dinge...)

c) Beweis per Drehgleichungen:

(Voraussetzung:
Drehgleichungen)

wähle aus...

Ciao Percy
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PA
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 17:45:   Beitrag drucken

hi, bin zwar nicht Benny,aber vielleicht kannst du mir ja auch helfen...
verstehe diesen ganzen Sin Tan Cors nicht...wie kann man den damit Steigungswinkel berechnen und das alles???
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Benny
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 19:24:   Beitrag drucken

Hallo Percy!

Hab zwar mittlerweile eine Lösung gefunden, wär aber nett wenn du mir den Beweis am Enheitskreis liefern könntest.

Vielen Dank noch mal für deine Antwort.

Adios Benny
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Percy
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 19:33:   Beitrag drucken

Hallo PA,

bitte präziesiere deine Frage(n).

Zum steigungswinkel:

ich nehme an, es geht um Graden. Dann berechnet mann die Steigung einer Graden mit hilfe eine Steigungsdreiecks. Dieses Steigungsdreieck ist rechtwinklig. Nun kommen die Winkelfunktionsdiffinitionen im rechtwinkliegen Dreieck ins Spiel. da man bekanntlich gilt:

Delta(y)/Delta(x) entspricht dies Gegenkathete/Hypothenuse im rechtwinkligen Dreieck. Und in rechtwinkliegen Dreuiecken ist der Tangens als Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete diffiniert.

Hast du das soweit verstanden?

ciao percy
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Percy
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 20:24:   Beitrag drucken

Hallo Benny,

Den Beweis auf den Bernd dich verwiesen hat hätte meinem Vorschlag b) entsprochen.

Der Beweis am Einheitskreis ist mit ein wenig Zeichenarbeitarbeit verbunden.

Bitte folge exakt meinen Zeichenanweisungen und frage wenn du etwas nicht verstehstL:-)

Zeichnung:
Als erstes Zeichnest du ein x y Koordinatensysthem. Der Ursprung des Koordinatensysthems wird mit O bezeichnet. Irgentwo auf der x-Achse trägst du ein punkt H
ein. Die Strecke OH entspricht dem Radius des Einheitskreises (1 LE).
An der Strecke OH wird in O ein beliebiger Winkel Alfa (a<90°) angetragen. der freie Schenkel von Alfa schneidet den Einheitskreis in P1.
An der Strecke OP1 wird in O ein weiterer Winkel Beta angetragen. beta wird so großb gewält, das gilt: a+b<90°. Der freie Schenkel von Beta scneidet den Einheitskreis in Einem Punkt P2.

Erstes wichtiges Fazit:

Strecke OP1=OP2=1 LE (I)

weiter geht`s:

Du fällst nun das Lot von p2 auf die Strecke OP1. Der lotfußpunkt auf OP1 wird von uns als T bezeichnt.
Außerdem fällst du von P2 das Lot auf Strecke OH. Diesmal wird der Lotfußpunkt mit Q bezeichnet.

Der Schnittpunkt der Strecken OP1 und P2Q wird mit S bezeichnet.

Fälle von T aus sowohl das Lot auf strecke P2S (bezeichne den lotfußpunkt auf Strecke P2S mit U) als auch auch das Lot auf Strecke OH (der Lotfußpunkt auf OH wird mit R bezeichnet).
==================================================

So; wenn du das gezeichnetb hast gehts weiter...

Ciao percy
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Percy
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 14:32:   Beitrag drucken

hallo Benny!!

Es folgt die fortsetzung des Sinus-Additionstheorems:-)

0000000000000000000000000000000000000000000000000

Als erstes betrachten wir das Dreieck OQS und das Dreieck P2TS. Beide Dreiecke sind ähnlich. um die Ähnlichkeit zu beweisen, verwenden wir den Hauptähnlichkeitssatz. Es genügt zu zeigen, daß die beiden dreiecke 2 gleiche Winkel besitzen. Damit wäre der Hauptähnlichkeitssatz erfüllt.

Die Oben genannten Dreiecke (OQS und P2TS) besitzen bei S einen gemeinsamen scheitelwinkel. Außerdem ist Dreieck OQS bei Q und P2TS bei T rechtwinklig. Daraus folgt, daß es den Winkel Alfa nochmals im Dreieck P2TS bei P2 nochmals gibt.

--------------------------------------------------

Dies gehörte im Prinzip noch zur Zeichnung:

richtig "raffitücki"-interressant wird es jetzt:

--------------------------------------------------

Wir untersuchen Das Dreieck P2TU:

Da das Dreieck bei U rechtwinklig ist gilt:
a...Alfa(a)
b...Beta(b)

Cos(a)=Strecke P2U/StreckeP2TÞStrecke P2U=Strecke P2T*cos(a) (A)

Nun betrachten wir Dreieck OTP2:

Dieses Dreieck ist rechtwinklig bei T. Es gilt:

Sin(b)=Strecke P2T/Strecke OP2

Da nach (I) gilt:

OP2=1 ÞSin(b)=Strecke P2T (B)

(B) in (A) eingesetzt:

Strecke P2U=cos(a)*sin(b) (II)

Nun betrachten wir Dreieck ORT:

Dieses Dreieck ist bei R rechtwinklig. Es gilt:

sin(a)=Strecke RT/Strecke OTÞStrecke RT=Strecke OT*sin(a) (C)

Nun betrachten wir Dreieck OTP2:

Weil dieses Dreieck bei T rechtwinklig ist, gilt:

Cos(b)=Strecke OT/ Strecke OP2

Aus (I) (OP2=1) folgt:

Strecke OT=cos(b) (D)

(D) in (C) eingesetzt ergibt:

RT=sin(a)*cos(b) (III)
--------------------------------------------------

Das sind die vorraussetzungen für unseren letzten Geniestreich:

Wir betrachten Dreieck OQP2:

Es ist bei Q rechtwinglig. Es gilt also:

Sin(a+b)=(Strecke P2U+Strecke UQ)/Strecke OP2

Wegen (I)(OP2=1) folgt:

Sin(a+b)=Strecke QU+Strecke P2U (E)

Es ist ein glücklicher Umstand, das gilt:

Strecke QU=Strecke RT (F)

(F) setzen wir in (E) ein:

Sin(a+b)=strecke RT+ Strecke P2U (G)

und in (G) setzen wir (II) Und (III) ein:

Sin(a+b)=sin(a)*Cos(b)+cos(a)*Sin(b)
==========================================q.e.d.

PUUUUH....

Das wars!!!

Ciao Percy
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Benny
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 13:25:   Beitrag drucken

Hallo Percy!

Vielen Dank noch mal für deine Hilfe. Hab alles mittlerweile kappiert und verstanden (war gar nicht so einfach). Trotdem ärgere ich mich,dass ich auf die Lösung von Bernd, nicht selber gekommen bin.

Danke und adios
Benny!

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