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Extremwertaufgabe mit Trapez

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Caroline
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Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 13:11:   Beitrag drucken

Hi,könnt Ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen. Ich habe schon alles probiert, doch leider finde ich nicht einmal den geringsten Ansatzpunkt!
Eine Wasserrinne soll aus drei gleichlangen Brettern gebaut werden. Wie muß der Winkel der Seitenflächen gegen die Grundflächen gewählt werden damit der Querschnitt am größten ist?
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 22:33:   Beitrag drucken

Hi Caroline,


Zeichne die Wasserrinne auf, sie muss natürlich oben breiter sein als unten, also so, dass vor dir ein symmetrisches Trapez liegt, bei dem die obere Parallele größer ist als die untere, die die Brettlänge b haben soll, wie die beiden Wandseiten auch.

Nenne den Winkel zwischen dem unteren Brett und der Wand a+90°, zeichne den Abstand zwischen den beiden Parallelen ein, nenne ihn h.

Zeichne nun eine Parallele zu h so ein, dass sie durch den Punkt, wo sich Wand- und Bodenbrett berühren, verläuft. Den Abstand zwischen der Oberkante des Wandbrettes und dem Schnittpunkt dieser h-Parallele mit der späteren Wasserlinie nenne g.


Der Winkel zwischen h und einer Wandseite ist somit a, so ergibt sich mit der trigonometr. Beziehung für rechtwinklige Dreiecke:

g = b * sina und h = b * cosa


Die Trapezfläche ist A = (Oberseite+Unterseite)*h/2

wobei Oberseite = g+b+g und Unterseite = b ist, also ist A = (2g+2b)*h/2 = (g+b)*h

Einsetzen der obigen trigonometr. Beziehungen ergibt

A = (b * sina + b)*b * cosa
also


A(a) = b2*(sina + 1) * cosa
_______________________

b ist ein Parameter, der als unbekannt, aber fest vorausgesetzt wird, die vorzugebende Brettlänge eben.

a ist hier die unabhängige Variable, nach der nun die Querschnittsfläche (nach der Produktregel) abgeleitet werden soll:

A'(a) = b2*(cosa)*cosa + b2*(sina + 1) *(-sina)


also A'(a) = b2*(cosa)2 - b2*(sina)2 - b2*sina


und die zweite Ableitung

A"(a) = -2*b2*cosasina - 2*b2*cosasina - b2*cosa

A"(a) = -4*b2*cosasina - b2*cosa

===================================================================================

Nullsetzen der ersten Ableitung führt auf mögliche Werte von a für Extrema:


b2*(cosa)2 - b2*(sina)2 - b2*sina = 0 | : b2

(cosa)2 - (sina)2 - sina = 0

jetzt wäre es langwierig, diese Gleichung nach a auflösen zu wollen, ersetze deshalb
nach dem "trigonometrischen Pythagoras" (cosa)2 = 1 - (sina)2


1 - (sina)2 - (sina)2 - sina = 0


und sina = x, so dass die Gleichung heißt


1 - x2 - x2 - x = 0

oder umgestellt -2x2 - x + 1 = 0 | : (-2)


x2 + x/2 - 1/2 = 0

löse mit pq-Formel oder durch faktorisieren:

(x - 1/2)(x+1) = 0

also x = 1/2 oder x = -1


resubstituiere x = sina, so dass


a = 30° oder a = 150° oder a = -90°

(letzteres bedeutet anschaulich, dass die Wandbretter zusammengeklappt über dem Bodenbrett liegen, da der Winkel a+90° dann gleich -90°+90° = 0° ist, deshalb setze ich für den Fall das a auch nicht in die zweite Ableitung ein; die zweite Lösung a = 150° heißt lediglich, dass das ganze Problem auf den Kopf gestellt wird, da der Öffnungswinkel zwischen Seiten- und Grundfläche dann 150°+90° = 240° wäre)

Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt

A"(a=30°) = -2.598... < 0

also liegt hier wirklich ein Maximum vor.

(Beim Einsetzen von 150° oder -90° käme nicht raus, dass A"(...)<0 ist, also auch kein Maximum von A)

Also ist der Querschnitt dann am größten, wenn der Winkel der Seitenflächen gegen die Grundflächen gleich a+90° = 30°+90° = 120° ist.

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