| Autor |
Beitrag |
    
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 08:41: | 
|
Okay ich weiß die Frage hab ich in 8-10 Forum schon mal gestellt - aber da antwortet ja keiner!
Also nochmal:
Die Gitterpunkte auf einer Strecke AB mit A(a|0) und B(0|b) lassen sich Beschreiben mit
GGT(a;b)-1
Beweise!
Bevor ich jetzt anstatt einer Antwort wieder nur Gegenfragen bekomme. Die Aufgabe kommt so in keinem Wettbewerb der mir bekannt ist vor. Der Sachverhalt wurde in einem bereits 1 jahr altem Wettbewerb vorrausgesetzt - ich suche jetzt nur aus Jux (naja wissen würde ich's schon sehr gerne!) nach einem beweis bzw dem Weg wie man darauf kommen kann. Ich habs nämlich durch rumprobieren rausbekommen :-)
wait for help
rainbow |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 18:09: |
|
Ich versuche mal, deine Frage präziser zu formulieren.
Es seien a und b ganze Zahlen. Dann enthält die Strecke AB mit A=(a,0) und B=(0,b) genau ggT(a,b) + 1 viele Punkte mit ganzzahligen Koordinaten.
(Ich habe die Endpunkte mitgezählt, deshalb "+1" und nicht "-1".)
Ist das so gemeint? (Tschuldige, schon wieder eine Gegenfrage...) |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:06: |
|
Exakt! Und jetzt sag mir aber mal warum bzw wie hast du das rausgefunden?
...bitte...
:-) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 13:06: |
|
Is ja gut, ich mach ja schon ... :-)
Aus Faulheit betrachte ich nur den Fall, dass a und b positiv sind. (Für die anderen Fälle beachte: ggT(a,b) ist per definitionem nie negativ. ggT(a,0) = a für a >= 0 und ggT(a,0) = -a für a < 0.)
Es sei g := ggT(a,b), gm = a und gn = b. Dann ist ggT(m,n) = 1.
Die Gerade durch A und B hat die Geradengleichung
bx + ay = ab
oder auch
nx + my = gmn.
Für einen Punkt Q = (r,s) mit ganzzahligen Koordinaten auf der Strecke AB gilt dann
r >= 0, s >= 0 und
nr + ms = gmn.
Hieraus m(gn - s) = nr.
Da ggT(m,n) = 1 ist, folgt, dass m ein Teiler von r sein muss:
mk = r.
Dies wieder eingesetzt:
nmk + ms = gmn
bzw.
s = gn - nk = b - nk.
Es folgt Q = (mk,b - nk).
Man vergewissere sich noch einmal, dass solch ein Q tatsächlich auf der Geraden liegt!
Da r und s beide nichtnegativ sein sollen, folgt weiterhin
mk >= 0 und b - nk >= 0
also
k >= 0 und k <= g.
Es gibt genau g + 1 Werte, die diesen beiden Ungleichungen genügen. Also gibt es genau g + 1 Punkte Q.
Wenn irgendein Schritt unklar ist, frag bitte noch einmal nach. Z. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 20:16: |
|
Hi rainbow,
in einem anderen Thread hast du erzählt, du wüsstest nicht, was eine Geradengleichung ist. Hm, das ist jetzt etwas ärgerlich. Nicht nur für diese Aufgabe, sondern insbesondere für die Aufgabe mit den schraffierten Dreiecken...
Ich versuche zu erklären: Wenn du ein Koordinatenkreuz mit x-Achse und y-Achse zeichnest und dann alle Punkte P = (x,y) betrachtest, für die z. B.
2x + 3y = 4
gilt, dann liegen alle diese Punkte auf einer Geraden. Deshalb nennt man diese Gleichung eine "Geradengleichung". In diesem Beispiel liegen die Punkte (2,0) und (0,4/3) auf der Geraden. Aber auch (-1,2) oder (0.5,1), denn
2*(-1) + 3*2 = 4,
2*0.5 + 3*1 = 4.
Die Geradengleichung muss nicht eindeutig sein. Die Gleichung
4x + 6y = 8
beschreibt dieselbe Gerade.
Allgemein lässt sich jede Gerade durch eine Gleichung der Form
ux + vy = w
mit geeigneten Konstanten u, v und w beschreiben.
Das musst du auf jeden Fall kapieren, um dann nächstes Wochenende etwas mit der Lösung für die andere Aufgabe anfangen zu können. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 13:44: |
|
Oh je, das hört sich ganz danach an als hätte ich am Wochenende dann einiges zu tun :-)
Also deine Erklärung zur Geradengleichung hört sich ganz Einleuchtend an - vor allem macht jetzt dein Beweis sogar für mich Sinn!
Aber mal zurück zum Thema Wettbewerbe - darf ich auf diesen Seiten gefundene Beweise (mit entsprechender Quellenangabe www.zahlreich.de) benutzen? Wenn ich sowas in Büchern finde darf ich das schließlich auch.
Danke für die Gedult :-) |
rainbow
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 13:36: |
|
Jepp! Jetzt (nach einem öden Schultag) kann ich sogar sagen das ich's geschnallt habe. Was Geradengleichungen mit dem Flächeninhalt von Dreiecken zu tun haben ist mir zwar noch nicht ersichtlich, aber ... Ich bin gespannt auf Sa.
:-) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 20:27: |
|
Hi Rainbow, freut mich, dass du es verstanden hast :-)
Für Sonnabend hier eine paar Einstimmungsaufgaben für dich.
Zeichne ein Koordinatensystem. Trage die Punkte A = (9,-1), B = (1,3) und C = (-2,-6) ein.
Zeichne die Gerade g1 durch A und B und die Gerade g2 durch C, die senkrecht auf g1 steht.
Aufgabe 1.
Bestimme die Geradengleichungen von g1 und g2.
Hinweis: Zwei Geraden mit den Geradengleichungen ax + by = c und dx + ey = f stehen senkrecht aufeinander, wenn ad + be = 0.
Bestimme rechnerisch aus den Geradengleichungen den Schnittpunkt D von g1 und g2.
Überprüfe anhand der Zeichnung, ob das Ergebnis stimmt.
Aufgabe 2.
Berechne die Längen der Strecken AB, AC und BC.
Stelle eine allgemeine Formel für den Abstand zweier Punkte P = (x1,y1) und Q = (x2,y2) auf.
Aufgabe 3.
Die Gerade g1 zerteilt die Ebene in zwei Hälften. Wie kann man sehr einfach ausrechnen, ob ein Punkt P = (u,v) in derselben Hälfte wie der Punkt (1,1) liegt?
So, wenn du das alles hinkriegst, bist du topfit für Sonnabend ;-) |
rainbow
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 21:59: |
|
Hey, Danke!
Jetzt hab ich wenigsten morgen in der Schule was zu tun :-) Eine nicht ganz so fachliche frege würde mich mal interessieren - Du jetzt als Person, warum machst du das hier und überhaupt was bist du von Beruf (gut wäre ne Antwort wie diplommathematiker - dann würde ich mich nicht so schlecht fühlen wenn ich das nächste mal nur mit Mühe überhaupt verstehe worums geht :-))? Wenn dir das natürlich zu persönlich ist auch gut dann warte ich eben auf sonnabend :-)
FAbi - rainbow klingt inzwischen nervig. Also darf ich mich vorstellen ich bin Fabian, obwohl ich vieleicht besser bei rainbow bleibe - um mich in den Foren besser wiederzufinden :-) |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 14:54: |
|
Hi!
Ok, die Sache ist dem Direx überstellt und hoffentlich bereits abgeschickt.
Und hier mein Beweis das ich würdig bin für deinen Beweis ;-)
1.) g1: Die, sich aus den Punkten A und B ergebende Funktion, umstellen ergibt 0,5x+1y=3,5
g2: Man setze d=1 in 2d+4e=0 und erhält 1(-2)+(-0,5)(-6)=f und somit die Geradengleichung 1x+(-0,5)y=-1
Lösung des Systems der beiden Geradengleichungen ergibt D(2,2|2,4)
2.) Allg.: Strecke PQ für P(x1|y1) und Q(x2|y2) = Wurzel(x1-x2)^2+(y2+y2)^2. Die Strecken AB BC und AC schenk ich mir jetzt mal, Ok?
3.) Ich würde mal tippen, einfach beide Punkte in die betreffende Geradengleichung einsetzen: a+b <=> f und au+bv <=> f. Gilt das Gleichzeichen liegt der Punkt auf der Gerade. Das > und < Zeichen beschreibt eine der Seiten, sind sie für die Punkte gleich liegen sie auf der selben Seite.
Und jetzt bist du dran!! :-)
FAbi |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 15:52: |
|
Hi FAbi, du hast es begriffen :-)
Hier noch ein paar Kleinigkeiten: Die Geraden lassen sich auch einfacher darstellen als
g1: x + 2y = 7,
g2: 2x - y = 2.
Versuche immer, die Gleichung mit möglichst wenig Brüchen darzustellen! Dann werden die nachfolgenden Rechnungen (hier die Berechnung des Schnittpunktes) einfacher.
g2 erhältst du sehr einfach, indem du den Ansatz
g2: 2x - y = f
machst und dann f bestimmst, indem du für x und y die Koordinaten von C einsetzt.
Ich nehme an, die "-1" auf der rechten Seite von g2 ist bei dir nur ein Tippfehler, da du den Schnittpunkt richtig berechnet hast.
Die Abstandformel lautet korrekt
Wurzel((x1 - x2)² + (y2 - y2)²)
Ich nehme an, auch dies war nur ein Tippfehler bei dir.
Zu deiner Frage, warum ich das überhaupt mache: Aus Spaß und zur Entspannung. So, wie andere vielleicht Kreuzworträtsel lösen oder sich mit "Malen nach Zahlen" die Zeit vertreiben.
Zu deiner Beruhigung: Ja, ich bin Dipl.-Math.
Die Antwort auf deine andere Frage erscheint demnächst unter der anderen Aufgabe ... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 15:53: |
|
Die Abstandformel lautet korrekt
Wurzel((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)
War jetzt ein Tippfehler meinerseits. |
rainbow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 19:25: |
|
Shon eradtaunlich wie viewle tippfehler man nmachen kanohne es ztu wolen ;-) Soory dafür aber du hast ja selbst gesehen wie verdammt schnell das geht! bei g2 ist f natürlich +1. |
|
