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Beitrag |
    
florian blumeroth (Blumeroth)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 13:45: | 
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Hallo,
könnt ihr mir sagen wie man folgende Aufgabe löst?
Also:
Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten grades so, dass für den Graphengilt:
O (0/0) ist Punkt des Graphen,
W (2/4) ist WEndepunkt und die dazugehörtige
WEndesetigung ist -3.
Vielen Dank
Florian |
Bastian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 15:43: |
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Hallo Florian,
für ganzrationale Funktionen 3. grades gilt:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Also erhältst du folgende Gleichungen:
f(0)=0, da 0 Punkt des Graphen
f(2)=4, da 2 """"
f''(2)=0, da 2 Wendepunkt
f'(2)=-3, da Steigung an 2 = -3
f(0)=0 => d=0
f(2)=4 => 8a+4b+2c=4
f''(2)=0 => 12a+2b=0
f'(2)=-3 => 12a+4b+c=-3
Nun nehme ich 12a+4b+c=-3 mal 2=
24a+8b+2c=-6 und ziehe es von Gl. 2 ab:
8a+4b+2c=4
-(24a+8b+2c=-6)
------------
-16a-4b=10
Nun nehme ich 12a+2b=0 mal -2=
-24a-4b=0 und ziehe davon die vorhin erhaltene Gl. ab:
-24a-4b=0
-(-16a-4b=10)
------------
-8a=-10
<=> a=5/4
Was jetzt folgt, sind nur noch Einsetzungen:
12*5/4+2b=0
<=>15+2b=0
<=>2b=-15
=>b=-15/2
12*5/4+4*(-15/2)+c=-3
<=>15-30+c=-3
=>c=12
Daraus resultiert die Gleichung
f(x)=5/4x^3-15/2x^2+12x
Viele Grüße
Bastian |
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