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Beitrag |
    
Oliver (Raffnix)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 13:37: | 
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Hallo, wer kann mir bitte helfen!!
3x1-x2+2x3+x4 =3
-10x1+2x2-x3+9x4 =-2
12x1-4x2+8x3+4x4=5
5x1+3x2+2x3+8x4=1
Wenn ich die Determinantenrechnung kapiert habe, ist sie in diesem Falle Null. Aber was mach ich
dann, durch Null kann ich nicht teilen, wie kommt man dann zu einer Lösung. Mit den Hauptfällen, das kapier ich nicht.
Kann mir da jemand den Lösungsweg aufzeigen? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 20:18: |
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Hallo Oliver, vielleicht kannst du dir schonmal unter
Universitäts-Niveau:
Lineare Algebra:
Gleichungssystem lösen..
eine ähnliche Aufgabe durchlesen, vor allem in den Aufgabenteilen a) und c) trifft sie auf deine Frage: "was passiert, wenn D = 0 ist" zu, das habe ich mal beantwortet, ohne dass es einer gebraucht hat...die Lösung ist sozusagen noch unbenutzt, hihi...
ich versuche in der Zwischenzeit, die Lösung für dein Problem zu beschreiben. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 22:58: |
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Hallo Oliver,
an einem System mit vier Unbekannten kann man das schlecht erklären.
Nehmen wir mal ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten x und y und beliebigen Koeffizienten a, b, c, d:
ax + by = 3
cx + dy = 4
Löst du die zweite Gleichung nach y auf, lautet sie
y = (4 - cx)/d
eingesetzt in die erste ergibt das
ax + b*(4 - cx)/d = 3
und die Klammer ausmultipliziert
ax + 4b/d - bcx/d = 3
und x ausgeklammert
(a - bc/d)x + 4b/d = 3
Diese Gleichung ist nur dann wahr, wenn a - bc/d nicht gleich Null ist, da sonst da stünde 4b/d = 3
und das im allgemeinen Fall (z. B. für b=5, d=7 oder viele andere Fälle) nicht erfüllt ist.
also ist die Bedingung, dass solch ein inhomogenesGleichungssystem mit zwei Unbekannten eine Lösung hat:
a - bc/d ¹ 0
oder durch c geteilt
a/c - b/d ¹ 0
was bedeutet, dass die Determinante D der Koeffizientenmatrix
nicht gleich Null sein darf.
Erklärung inhomogenes Gleichungssystem durch Gegenbeispiel:
ax + by = 0
cx + dy = 0
ist ein homogenes Gleichunssystem.
Bei einem homogenem Gleichunssystem sind beide "rechten Seiten" gleich Null, bei einem inhomogenen Gleichunssystem ist mindestens eine der beiden ¹0, z. B. wären
ax + by = 3
cx + dy = 0
oder
ax + by = 0
cx + dy = 4
inhomogene Gleichungssysteme.
Ist die Koeffizientendeterminante aber gleich Null, so kann das inhomogene Gleichungssystem
doch noch eine Lösung haben, wenn beide Gleichungen durch Multiplikation mit einer Konstanten ineinander überführt werden können, man sagt dann, die Gleichungen sind linear abhängig (Bei mehr als zwei Gleichungen würde das zusätzlich zur Multiplikation mit einer Konstanten bedeuten, dass man eine Gleichung beliebig oft auf eine andere aufaddieren kann).
zum Beispiel hat das Gleichungssystem
5x + 1y + 8z = 7
4x - 3y - 5z = 17
-x + 2y + 5z = -8
beliebig viele Lösungen, da alle seine "Nebendeterminanten" gleich Null sind.
(Ich nenne die hier mal so, ich weiß nicht genau, ob das der richtige Ausdruck ist; die oben berechnete Determinante D = a/c - b/d heißt jedenfalls Hauptdeterminante, das war in deinem Problem diejenige, die Null geworden ist und durch die du nicht teilen konntest)
Die "Nebendeterminanten" Dx, Dy, Dz berechnen sich nach folgender Regel (vergleiche auch im oben genannten Beispiel den Beitrag vom 13.08. um 21:17 Uhr.
Dx = det()
wobei man die Zahlen der "rechten Seite", also die "Nichtkoeffizienten" von x, y oder z in die Spalte einträgt, wo sonst die Koeffizienten von x stehen.
Entsprechend erhält man die Determinanten Dy und Dz.
Da aber die Zeilen untereinander linear abhängig sind (addiert man das elffache der zweiten Zeile zum neunzehnfachen der dritten Zeile, erhält man das fünffache der ersten Zeile), ist das Gleichungssystem unterbestimmt, und damit hat es beliebig viele Lösungen.
Der Zusammenhang zur Determinantentheorie mit Hilfe der Cramerschen Regel ergibt sich darin, dass die Determinante einer Matrix, bei der Zeilen linear abhängig voneinander sind, gleich Null ist.
Die Cramer-Regel selbst sagt aus, dass sich die Lösungen des Gleichungssystems aus den Determinanten Dx, Dy, Dz und D berechnen lassen nach
x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D
wobei jetzt klar sein müsste, dass, wenn auch nur eine der drei Dx, Dy, Dz ungleich Null ist, das Gleichungssystem keine Lösung hat, aber wenn alle drei Dx=Dy=Dz=0 sind, beliebig viele Lösungen möglich sind.
Ich bin gerne bereit, deinen Lösungsvorschlag zur Lösung deiner Aufgabe zu überprüfen, nur selber ausrechnen kann ich das nicht, weil ich noch kein Programm zur Determinantenberechnung habe und mich per Hand bei diesen vierreihigen Matrizen sonst zu oft verrechne.
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Wohl kann ich dir noch die Determinanten zur Lösung der Beispielaufgabe von stiftpritt nennen,
für den Fall s=1 ergibt sich ja das Gleichungssystem
4x - y - 3z = -2
5x - y - 4z = -1
3x - y - 2z = -3 ,
welches die Determinanten Dx=0 , Dy=0, Dz=0 und D = 0 hat, also beliebig viele Lösungen besitzt. Diese Gleichungen sind linear abhängig: addiere die zweite und dritte, und du erhältst das doppelte der ersten.
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Ist hingegen s=0, hat das Gleichungssystem keine Lösung, da dann Dx=2 , Dy=3, Dz=1, aber wie oben D = 0 ist.
In diesem Fall lässt sich keine der Dx, Dy, Dz durch D = 0 teilen und das System ist nicht lösbar.
Rechentechnisch würde das darauf führen, dass sich ein Widerspruch zwischen zwei Gleichungen des Systems ergibt:
3x - y - 3z = - 2
5x -2y - 4z = - 1
3x - y - 3z = - 3
woran man sofort sieht, dass die erste und dritte sich widersprechen.
Der Fall, dass s nicht gleich 0 oder 1 ist, führt darauf, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat, was dir aber, nach deiner Fragestellung zu schließen, keine Probleme macht. |
Oliver (Raffnix)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 08:21: |
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Hi Bernd,
vorab schon mal vielen Dank, ich werde mich jetzt mal in deine Erklärung stürzen. Und melde mich wieder ob sie mir geholfen hat.
Gruß Oliver |
Oliver (Raffnix)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 18:10: |
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Hallo Bernd,
ich verstehe ja deine Beispiele soweit, aber eben doch noch nicht so richtig. Bei diesem Beispiel:
1,2x-0,9y+1,5z=2,4
0,8x-0,5y+2,5z=1,8
1,6x-1,2y+2,0z=3,2 ist die Haupt- und sind die Zählerdeterminanten alle 0.
Das hieße ja, das es in diesem Falle beliebig viele Lösungen gäbe. Aber das ist doch nicht der Fall oder doch. Wenn ja, wie finde ich diese denn dann. Das versteh ich nicht, kannst du mir an einem Beispiel zeigen, wie man beim Falle alle Determinanten sind gleich 0 die Lösungen findet.
Ich hoffe du verstehst was ich meine.
Gruß Olli |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 23:19: |
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Hallo Oliver,
bei diesem letzten Beispiel stimmt es, dass es
unendlich viele Lösungen gibt.
Die Cramersche Regel kann man dann nicht dazu
benutzen, welche anzugeben.
Mit dem Gauß-Algorithmus, bei dem du nacheinander
aus der dritten und zweiten Gleichung x und y
eliminierst (manche machen natürlich auch z und y
weg) erhältst du nach Multiplikation der ersten
Gleichung mit 20, der zweiten mit 12 und der
dritten mit 15 folgende Gleichungen:
24x - 18y + 30z = 48
9.6x - 6y + 30z = 21.6
24x - 18y + 30z = 48
so dass die erste und dritte dasselbe aussagen
(du siehst: das 20fache der ersten war gleich dem
15fachen der dritten; sie waren linear abhängig)
also besteht das Gleichungssystem nur noch aus
zwei Gleichungen mit weiterhin drei Unbekannten:
eine Unbekannte wird frei wählbar werden.
anschaulich führe ich jetzt einen neuen Parameter
r ein, der eigentlich gar nicht nötig ist, aber
um erstmal von den drei Namen x, y und z
wegzukommen, ist das ganz gut so; wir tun jetzt
so, als ob wir dieses r kennen und müssen es
nicht eliminieren wie die Variablen, wir dürfen
es stehenlassen wie eine Zahl.
ich setze x=r, dann werden die Gleichungen zu
24r - 18y + 30z = 48
9.6r - 6y + 30z = 21.6
und da das r als bekannte Zahl betrachtet wird,
kommt es nach rechts:
I) - 18y + 30z = 48 - 24 r
II) - 6y + 30z = 21.6-9.6r
I-II) -12y = 26.4 - 14.4 r
also y = -2.2 + 1.2 r
und mit II) *(-3) <=> 18y-90z = -64.8 + 28.8 r
jetzt diese plus I): -18y+30z = 48 - 24 r ergibt
-60 z = -16.8 + 4.8r
also z = 0.28 - 0.08 r
Diese Lösung gibt man dann klassisch mit Lösungs-
mengensymbol an:
IL = {r, -2.2+1.2r, 0.28-0.08r | rÎIR}
wobei es bedeutet, dass r jede reelle Zahl sein
kann: das r deutet an, dass die Lösung eine
beliebige Komponente r hat, die anderen beiden
hängen dann von ihr gemäß y = ..., z = ... ab.
Du siehst, dass diese ganze Determinantentheorie
hier für'n {censored} war, denn du musstest
doch wieder mit dem ganz normalen Lösungsverfahren
(Gauß-Algorithmus) an die Sache ran.
Solange du also nicht weißt, ob eine einzige
Lösung zu erwarten ist und du dann die Cramer-
Regel anwenden kannst, und soweit du also nicht
tiefer in die Materie mit Lösbarkeit von
Gleichungssystemen, Eigenwerttheorie etc.
eindringen willst, kannst du die Determinanten
eigentlich wieder vergessen; die halten nur auf,
wenn man's schriftlich macht und Rechenfehler
drin hat; für Computer natürlich sind sie sehr zu
empfehlen.
wenn mich jemand eines besseren belehren möchte, dann bitte ich darum; ich weiß bisher wirklich nicht, wie man die Lösungsmenge eines unterbestimmten Gleichungssystems allein mit Determinanten herausbekommt
Bernd |
Oliver (Raffnix)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 09:32: |
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Vielen merci Bernd!!
Zumindest habe ich jetzt mal die Cramersche Regel verstanden, und die ist für mich wichtig da ich in der Klausur Aufgaben mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten über die CRegel rechnen können muß.
Vielleicht kannst du mir noch sagen, wo ich gute Infos über Gauß Algorithmus finde, das Verfahren sollte ich wohl auch beherrschen, obwohl es mir noch nichts sagt.
Nochmals vielen Dank für deine Mühe
Gruß Oliver |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 18:30: |
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frage an zahlreich-Technik: lag das an dem anderen Browser, den ich jetzt gerade benutze, dass die Seitenadresse nicht mehr oben angegeben ist ? Ich wollte eigentlich wie gewohnt direkt einen Link in diese Seite hier setzen
Hallo Oliver, schau mal eine Beispielaufgabe an unter "Klassen 11-13:
Funktionen/Lineare Gleichungssysteme:
Gleichungssysteme:
Lineare Gleichungssysteme "
die Diskussion ab dem 10.12.99 an. |
ZahlReich-Technik
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 23:16: |
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Bernd,
das muß an dem Browser liegen, da wir nichts in diesem Zusammenhang geändert haben.
Aber wir haben nicht 100% verstanden, was Du meinst. Befindest Du Dich mit dieser Aufgabe gerade in einem Frame oder hast Du die Aufgabe solo auf dem Schirm? Und ist die Sache reproduzierbar?
ZahlReich-Technik |
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