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Natalie
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 16:35: |
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Hallo Wir sollen die n-te Ableitung der Funktion f(x)=1/[(1-x)^(1/3)] bestimmen. Wer kann helfen ? |
Armin Heise (Armin)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 21:04: |
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f(x)= (1-x) hoch -(1/3) zunächst benötigst Du eine Vermutung, wie sich die Ableitungen entwickeln, die Du anschließend beweisen mußt. f'(x)= -1*(-1/3) ((1-x)hoch -(4/3))( Kettenregel ) f''(x)= -1*(-1)(-1/3)*(-4/3)((1-x) hoch - (7/3)) Vermutung : 1. bei jeder Ableitung kommt der Faktor -1 dazu, 2. bei der 1. Ableitung wird mit dem Faktor -1/3 multipliziert und bei jeder weiteren mit einem Faktor,der immer um 1 kleiner ist als bei der vorhergehenden Ableitung 3. die Hochzahl bei (1-x) wird mit jeder Ableitung, die Du bildest, um 1 kleiner. d.h. Vermutung die n - te Ableitung von f = (-1) hoch n* (Produkt von i =1 bis n von (-1/3-i+1))* (1-x)hoch (-1/3-n) (++) diese Vermutung kannst Du nun per Vollständiger Induktion über n beweisen Induktionsanfang : n=1 Induktionsschritt: nimm an, daß die n-te Ableitung von f so aussieht, wie in (++) und bilde die Ableitung. Zeigen mußt Du das das Resultat hierbei demjenigen entspricht, daß Du erhältst, wenn Du in (++) überall n durch n+1 ersetzt. |
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