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N-te Ableitung

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Natalie
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 16:35:   Beitrag drucken

Hallo
Wir sollen die n-te Ableitung der Funktion

f(x)=1/[(1-x)^(1/3)] bestimmen.

Wer kann helfen ?
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Armin Heise (Armin)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 21:04:   Beitrag drucken

f(x)= (1-x) hoch -(1/3)
zunächst benötigst Du eine Vermutung, wie sich die Ableitungen entwickeln, die Du anschließend beweisen mußt.
f'(x)= -1*(-1/3) ((1-x)hoch -(4/3))( Kettenregel )
f''(x)= -1*(-1)(-1/3)*(-4/3)((1-x) hoch - (7/3))
Vermutung : 1. bei jeder Ableitung kommt der Faktor
-1 dazu,
2. bei der 1. Ableitung wird mit dem Faktor -1/3 multipliziert und bei jeder weiteren mit einem Faktor,der immer um 1 kleiner ist als bei der vorhergehenden Ableitung
3. die Hochzahl bei (1-x) wird mit jeder Ableitung, die Du bildest, um 1 kleiner.
d.h. Vermutung
die n - te Ableitung von f =
(-1) hoch n*
(Produkt von i =1 bis n von (-1/3-i+1))*
(1-x)hoch (-1/3-n) (++)
diese Vermutung kannst Du nun per Vollständiger Induktion über n beweisen
Induktionsanfang : n=1
Induktionsschritt: nimm an, daß die n-te Ableitung von f so aussieht, wie in (++) und bilde die Ableitung. Zeigen mußt Du das das Resultat hierbei demjenigen entspricht, daß Du erhältst, wenn Du in (++) überall n durch n+1 ersetzt.

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