Autor |
Beitrag |
Carmen
| Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 13:56: |
|
Hallo, erst mal! Ich bin mir bei diesen Gleichungssystemen immer noch nicht so sicher und soll zu folgenden Aufgaben die Gleichungssysteme finden. Bitte helft mir!! 1) Eine Parabel 3. Ordnung hat die selben Nullstellen wie x->2x-1/2x^3. Beide Parabeln stehen im Ursprung senkrecht aufeinander. 2) Eine Parabel 4. Ordnung hat in O(0/0) und im Wendepunkt W(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse. 3) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist im ursprung symmetrisch und hat in P(1/1) einen Hochpunkt. (Berücksichtige die Symmetriebereits beim allgemeinen Ansatz.) Bitte helft mir. Ich habe jetzt schon Panik vor der Mathestunde! Danke allen, die mir helfen!!! |
Fern
| Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 19:30: |
|
Siehe weiter unten die gleiche Frage. |
Carmen
| Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 19:38: |
|
Wo genau soll das stehen? |
Zorro
| Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 21:30: |
|
Hallo Carmen, das war wohl eine erzieherische Maßnahme von Fern (?) ... aber er hat Recht, es reicht aber wirklich aus, eine Frage nur einmal zu stellen ;-) Aufgabe 1 unser Standardanfang für Parabeln 3. Ordnung f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + bx + c f''(x) brauchen wir diesmal nicht nun zur Auflösung der Koeffizenten: gegeben ist g(x) = -½x³ + 2x Nullstellen g(x)=0 0 = x (-1/2x² + 2) xN1=0 xN2=2 xN3=-2 Steigung im Ursprung g'(x) = 3/2 x² +2 g'(0) = 2 wir wissen also über f(x) [1] f(0) = 0 d = 0 [2] f'(0) = -1/g'(0) = -1/2 ... die Funktionen stehen senkrecht aufeinander c = -1/2 [3] f(2) = 0 0 = 8a + 4b + 2c 0 = 8a + 4b -1 [4] f(-2) = 0 0 = -8a + 4b –2c 0 = -8a + 4b + 1 Addiere [3]+[4] 8b = 0 b = 0 aus –8a +1 = 0 a = 1/8 Funktionsgleichung f(x) = 1/8x³ - 1/2x Zweite Aufgabe Eine Parabel 4. Ordnung hat in O(0/0) und im Wendepunkt W(-2/2) Tangenten parallel zur x-Achse. f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e f'(x) = 4ax³ + 3bx² + cx + d f''(x) = 12ax² + 6bx + c wir wissen [1] f(0)= 0 ... Punkt (0;0) e = 0 [2] f'(0)= 0 ... Steigung in x=0 gleich x-Achse d = 0 [3] f''(-2)=0 ... Wendepunkt bei x=-2 48a –12b + c = 0 8a - 2b + c/6 = 0 [4] f'(-2)=0 ... Steigung bei x=-2 ist gleich x-Achse -32a + 12b –2c = 0 -8a + 3b – c/2 = 0 [5] f(-2)= 2 ... Punkt (-2;2) 16a – 8b + 4c = 2 8a –4b +2c = 1 Gleichungssystem (1) 8a – 2b + c/6 = 0 (2) –8a +3b –c/2 = 0 (3) 8a – 4b + 2c = 2 (1)+(2) (4) b – 1/3c = 0 (2)+(3) (5) -b + 3/2c = 2 (4)+(5) 7/6c = 2 c = 12/7 aus (4) b – 4/7 = 0 b = 4/7 aus (3) 8a –4(4/7) + 2(12/7) = 2 8a –16/7 + 24/7 –14/7 =0 8a –6/7 = 0 a = 6/56 = 3/28 f(x) = 3/28x4 + 4/7x³ + 12/7x² Sieht komisch aus, dieses Ergebnis – überprüft hab' ich's nicht! vielleicht findest du ja was ... 3. Aufgabe Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist im ursprung symmetrisch und hat in P(1/1) einen Hochpunkt. (Berücksichtige die Symmetriebereits beim allgemeinen Ansatz.) Scheren wir uns mal nicht um den letzten Satz, und verwenden unseren Standardansatz! f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + bx + c f''(x) = 6ax + b aus der Symetrie folgt: f(0)=0 ... Punkt (0;0= d = 0 f''(0)=0 ... Wendepunkt im Ursprung b = 0 Im Sinne der Aufgabestellung sollte man das schon beim Ansatz berücksichtigt haben. Verraten wir also nicht, daß wir ein bißchen geschummelt haben, und verwenden den gewünschten Ansatz: f(x) = ax³ + cx f'(x) = 3ax² + c f''(x) = 6ax wir wissen [1] f(1) = 1 ... Punkt (1;1) a + c = 1 c = 1 - a [2] f'(1) = 0 ... Extremum bei x=1 3a + c = 0 3a + 1 – a = 0 2a = -1 a = -1/2 c = 1-a = 3/2 f(x) = -1/2 x³ + 3/2 x ... und Schluß für heute ... Gruß, Zorro |
|