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Beitrag |
    
Carmen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 12:00: | 
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Hallo!
Ich soll zu folgenden Aufgaben die Gleichungssysteme finden. Wer kann mir helfen?
1) Eine Parabel 3. Ordnung hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur 1. Winkelhlbierneden und in Q(0/2) eine Tangente parallel zur x-Achse.
2) Eine Prabel 4. Ordnung hat im ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente und in A(-1/-2) einen Tiefpunkt.
3) Eine Parabel der 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in P(-2/4) einen Wendepunkt. Die Wendetangente schneidet die x-Achse in Q(4/0).
Bitte helft mir! Ich wäre auch sehr dankbar, wenn ihr eine kurze Erklärung zu der Lösung geben könntet(aber nur wenn es euch nicht zu aufwendig ist!) Wäre wirklich toll!
DANKE |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 22:01: |
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Hallo Carmen!
Die allgemeine Gleichung einer Parabelfunktion 3. Ordnung ist f(x) = ax³+bx²+cx+d
Vorsorglich schreibe ich schonmal ihre Ableitung auf: f'(x)= 3ax²+2bx+c
Die vier Parameter a, b, c, d müssen gefunden werden, ihre Bestimmung ergibt sich aus den vier Angaben, die zur Verfügung stehen:
1. Der Funktionswert von 1 ist 4, das heißt, f(1)=4, f(1) ist aber gleich a1³+b1²+c1+d, also ist
a*1³+b*1²+c*1+d = 4
2. Der Funktionswert von 0 ist 2, das heißt, f(0)=2, f(0) ist aber gleich a0³+b0²+c0+d, also ist
a*0³+b*0²+c*0+d = 2
3. Die erste Winkelhalbierende entspricht der Funktion g(x) = x, die die Steigung 1 hat.
Die Steigung ist in der Diff'rechnung gleich der ersten Ableitung der Funktion, also muss f'(1) = 1 sein, da es um die Steigung im Punkt P mit der x-Koord. 1 geht.
also muss die Ableitung f'(1)= 3a*1²+2b*1+c sein, das heißt, 3a*1²+2b*1+c = 1
4. "Tangente parallel zur x-Achse" bedeutet, dass f'(x) gleich Null ist, und zwar im Punkt Q, wo x = 0 ist, d. h., 3a*0²+2b*0+c = 0
Zusammenfassend die vier Gleichungen:
a*1³+b*1²+c*1+d = 4
a*0³+b*0²+c*0+d = 2
3a*1²+2b*1+c = 1
3a*0²+2b*0+c = 0
Sie vereinfachen sich durch Ausführen sämtlicher Operationen an den Zahlen:
a+b+c+d = 4
d = 2
3a+2b+c = 1
c = 0
Jetzt habe ich nicht auf die anderen beiden Aufgaben geachtet, die etwas allgemeiner gehalten sind, bei dieser hier vereinfachen sich ja zufällig zwei Gleichungen von vornherein derart, dass du schlecht für Aufg. 2) und 3) davon lernen kannst. Egal, jetzt stehts schon "drin", also weiter:
1) a+b+0+2 = 4 |-2-a
2) d = 2
3) 3a+2b+0 = 1
4) c = 0
Umordnen der Gln. ergibt
1) <=> b = 2-a
3) <=> 3a+2b=1
2) c=0
4) d=4
Einsetzen von 2-a für b in der zweiten Gleichung ergibt:
3a+2*(2-a)=1
<=> 3a+4-2a=1 |-4
<=> a=-3
dies in die zweite eingesetzt, ergibt b=5
somit lautet der gesuchte Funktionsterm
f(x)=-3x³+5x²+0x+4 = -3x³+5x²+4 |
Steffi
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 22:46: |
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Hallo Carmen,
Aufgabe 1
Funktionsgleichung in allgemeiner Form samt ihrer Ableitungen:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
1. Bedingung: P(1/4) liegt auf dem Graphen
-> f(1) = 4
I. 4 = a + b + c + d
2. Bedingung: In P Tangente parallel zur 1. Winkelhalbierenden
-> f'(1) = 1 (weil die 1. Winkelhalbierende die Steigung 1 hat)
II. 1 = 3a + 2b + c
3. Bedingung: Q(0/2) liegt auf dem Graphen
-> f(0) = 2
III. 2 = d
4. Bedingung: in Q Tangente parallel zur x-Achse
-> f'(0) = 0 (weil die x-Achse die Steigung 0 hat)
IV. 0 = c
Setze III. und IV. in I. und II.:
I. 4 = a + b + 2 |*(-2)
II. 1 = 3a + 2b
--------------------------
-7 = a - 4 |+4
a = -3
II. 1 = 3*(-3) + 2b |+9
10 = 2b
b = 5
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = -3x³ + 5x² +2
2. Aufgabe
f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
1. + 2. + 3. Bed.: Im Ursprung (0/0) einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente
-> f(0) = 0 und f'(0) = 0 und f''(0) = 0
(Es handelt sich hierbei um einen Sattelpunkt, also einem Wendepunkt mit waagrechter Tangente (Steigung 0).)
I. 0 = e
II. 0 = d
III. 0 = c
4. Bed.: A(-1/-2) liegt auf dem Graphen der Funktion
-> f(-1) = -2
IV. -2 = a - b (c = d = e = 0)
5. Bed.: Tiefpunkt bei A
-> f'(-1) = 0
V. 0 = -4a + 3b
IV. -2 = a - b |*4
V. 0 = -4a + 3b
--------------------
-8 = -b
b = 8
V. 0 = -4a + 24
-4a = -24
a = 6
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = 6x4 + 8x³
3. Aufgabe
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
1. Bed.: Geht durch den Ursprung
-> f(0) = 0
I. 0 = d
2. Bed.: Geht durch P(-2/4)
-> f(-2) = 4
II. 4 = -8a + 4b - 2c
3. Bed.: In P Wendepunkt
-> f''(-2) = 0
III. 0 = -12a + 2b
4. Bed.: Wendetangente schneidet x-Achse in Q(4/0)
-> Die Wendetangente geht außerdem durch den Wendepunkt P(-2/4). Um ihre Gleichung zu ermitteln, muss man beide Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:
y = mx + n
-> P(-2/4) -> 4 = -2m + n -> n = 4 + 2m
-> Q(4/0) -> 0 = 4m + n -> n = -4m
Gleichsetzen:
-4m = 4 + 2m |-2m
-6m = 4
m = -2/3
n = -4m
n = 8/3
Die Gleichung der Wendetangente lautet also
y = (-2/3)x + 8/3
Interessant für unsere eigentliche Aufgabe ist die Steigung der Wendetangente, denn sie entspricht der Steigung der gesuchten Funktion im Punkt P(-2/4)
-> f'(-2) = -2/3
IV. -2/3 = 12a - 4b + c
Wir haben also folgende Gleichungen erhalten
II. 4 = -8a + 4b - 2c
III. 0 = -12a + 2b
IV. -2/3 = 12a - 4b + c
Ich multipliziere Gleichung IV. mit 2 und addiere sie dann zu II.:
II. 4 = -8a + 4b - 2c
IV. -4/3 = 24a -8b + 2c
-------------------------
V. 8/3 = 16a -4b
III. 0 = -12a + 2b |*2
----------------------
8/3 = -8a
a = -1/3
III. 0 = -12*(-1/3) + 2b
-2b = 4
b = -2
II. 4 = -8*(-1/3) + 4*(-2) - 2c
4 = 8/3 -8 -2c
2c = -28/3
c = -14/3
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = -(1/3)x³ -2x² -(14/3)x
Steffi |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 23:04: |
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richtig, Steffi, alles korrekt. leider hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen, als ich die Gleichungen 2) und 4) vertauscht hab; es muss natürlich heißen:
4) c=0
2) d=2 |
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