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Melanie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 21:52: | 
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Hallo!
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Sie möchten in 3 Jahren für ein Jahr ins Ausland gehen, um dort eine Postgraduiertenausbildung zu besuchen. Der Kurs wird Ihnen 35.000 DM kosten, die Sie gleich am Anfang der Ausbildung bezahlen müssen. Sie rechnen mit monatlichen Lebenshaltungskosten von 1.700 DM, die Ihnen Ihre Bank immer am Monatsanfang überweisen wird. Unglücklicherweise müssen Sie sämtliche Ausgaben selbst finanzieren. Um das zu ermöglichen, wollen Sie in den nächsten 3 Jahren Monat für Monat einen fixen Betrag auf Ihr Sparbuch überweisen. Die Bank bezahlt 5% Zinsen p.a.
(a) Wieviel Geld muß vor Ihrer Abreise auf dem Sparbuch gutgeschrieben sein, damit Sie Ihre Kosten zur Gänze decken können?
(b) Wieviel müssen Sie in den nächsten 3 Jahren pro Monat auf Ihr Sparbuch überweisen, damit Sie den in (a) berechneten Betrag zur Verfügung haben?
Vielen Dank,
Nelly |
ub40
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 20:10: |
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Die Aufgabenstellung ist meines Erachtens unklar:
Warum überweist die BVank die Lebenshaltungskosten von DM 1.700 und wovon? Von den 35.000 DM oder hat das nichts miteinander zu tun?
ub40 |
Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 23:44: |
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Falls ich richtig verstanden habe, glaube ich zu wissen, was gefragt ist:
Nach Ablauf der drei Jahre muss die Einmalzahlung von 35 000 zur Verfügung stehen plus dem Geld, was im Laufe dieses Ausbildungsjahres ausbezahlt werden soll, allerdings vermindert um die Zinsen, die man Ende Dezember dafür erhält.
Wäre die Antwort von Frage a) also bekannt und sei der Geldbetrag x, wäre die Antwort auf Frage b) leicht: einfach in die Formel für den Rentenendwert n=3 Jahre, p=5% und Rentenendwert R=x einsetzen, schwierig wird es aber bei Aufgabenteil a):
Die lezte Rückzahlung im Dezember soll ja nichts mehr übrig lassen von dem angesparten Geld, und genau das ist der Haken: die anderen Rückzahlungen von je 1700 DM kommen schon am Monatsanfang vom Sparbuch aufs Girokonto, im Dezember aber muss sich der Azubi noch gedulden, bis er die Zinsen auch in die Finger bekommt und sich Anfang Dezember erstmal mit etwa 1 250 DM zufriedengeben, um Ende Dezember den Rest von etwa 450 DM als Zinsen für die erst während des Ausbildungsjahres ausgezahlten Beträge zu empfangen.
ub40, ich hoffe, die Aufgabe erläutert zu haben und bleibe selber auch am Ball. |
Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 12:11: |
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Hallo Melanie resp. Nelly!
ich will versuchen, dir Teilaufgabe a) näherzubringen, auch wenn mir b) viel besser gefällt, da dort eine Formel aus einem Buch der Handelsschule fast unverändert übernommen werden kann.
Bei a) hingegen muss man, wenn man wie ich, die Rentenbarwertformel für monatliche vorschüssige Auszahlung nicht zur Hand hat, ganz schön rumdilletantieren.
Also: zu a) der gesuchte Barwert am Anfang des Ausbildungsjahres sei x
ich kenne die Lösung natürlich jetzt bereits und werde deshalb vom Beispiel mit jenen Zahlen auf die allgemeine Formel kommen
Angenommen, es seien Anfang Januar 19 953 DM nötig, um davon bis zum Jahresende an jedem Monatsersten 1700 DM abheben zu können, so dass diese 19 953 DM Ende Dezember aufgebraucht sind.
Am 1.1. hebt man 1700 ab und hat noch 18 253, die Januarzinsen für diese 18 253 betragen 0,05*18253/12 = 76,05 (die natürlich erst zu Silvester aufs Konto kommen)
Am 1.2. hebt man 1700 ab und hat noch 16 553, die Februarzinsen für diese betragen 68,97, errechnen sich wie im Januar.
Das geht so weiter bis Anfang November, am 1.11. sind abends noch 19 953 - 18 700 = 1 253 auf dem Konto. Jetzt kommt der kleine Schönheitsfehler an der Aufgabenstellung, auf den ich am Sonntag schon hingewiesen habe:
Im Dezember kann die Bank die letzte Rate nicht in einem Stück überweisen, sondern erstmal eben diese 1 253, die im November noch auf dem Konto waren. Der fehlende Rest sind ja die Zinsen fürs gesamte Ausbildungsjahr und die kommen ja erst am 31.12. zum Guthaben dazu. Entweder müsste man jetzt auf die Zinsen verzichten, dann wäre die Aufgabe natürlich viel leichter, weil man dann einfach 20 400 zu den 35 000 dazurechnen muss, um a) zu beantworten. Machen wir's uns ruhig schwer und versuchen, die Zinsen, auch wenn sie nicht ganz der Aufgabenstellung entsprechend am Monatsanfang gezahlt werden können, mit einzukalkulieren
Also Zusammenfassung:
Datum Kontostand Zinsen
| 1.1. | 19 953 | 76.05 | | 1.2. | 18 253 | 68.97 | | 1.3. | 16 553 | 61.88 | | 1.4. | ...... | 54.80 | | .. | | . | | . | | 1.10. | 2 953 | 12.30 | | 1.11. | 1 253 | 5.22 | | 1.12. | leer | keine |
Zählst du diese Zinszahlungen zusammen (ergeben zusammen 446,97 Mark) musst du auf den Betrag kommen, der an den 20 400 Mark fehlen darf, also auf 20 400 - 19 953, im allgemeinen Fall auf 20400 - x.
Wenn du jetzt die Differenzen zwischen den aufeinanderfolgenden Zinszahlungen bildest, wirst du feststellen, dass sich diese zum nächsten Monat um jeweils 7,08 Mark verringern.
Die 7,08 Mark sind ja die Zinsen, auf die der/die Azubi verzichten muss, weil schon wieder 1 700 Mark weniger als im Vormonat auf dem Konto stehen.
**Die Azubi muss also im Januar auf einmal 7,08 verzichten, im Februar auf zweimal 7,08, im März auf dreimal 7,08 usw. bis zum November, da verzichtet sie auf elfmal 7,08 Mark.**
Am Abend des 1. November sind noch 1 253 auf dem Konto, die ergeben nochmal 5,22 an Zinsen. Im Dezember ist außer am Morgen des ersten ja nichts mehr auf dem Konto, so dass für diesen Monat natürlich keine Zinsen mehr gezahlt werden.
Das Novemberguthaben von 1 253 war also 11 Monate lang auf dem Konto, so dass es 11*5,22 Zinsen erbrachte.
Alle Zinszahlungen zusammen errechnen sich nach der Überlegung, die innerhalb der ** ** steht wie folgt:
(Abkürzung: 1700=r, die 5 % schreibe ich nicht allgemein als p, da sonst zu viele Variablen vorkommen)
(x-r)*5%/12 + (x-2r)*5%/12 + (x-3r)*5%/12 + ...
... + (x-11r)*5%/12 = 20 400 - x
(Die rechte Seite kommt aus der Überlegung, dass diese Zinsen mit dem Barwert x zusammen 20 400 DM ergeben müssen)
Anmerkung zur Formatierung: "S11 i=1 i" soll bedeuten: "Summe über i von eins bis elf"; keine Ahnung, warum das nicht ganz zu sehen ist
Formt man die linke Seite um, steht dort 11*x*5%/12 - (5%/12)*r*S11 i=1 i = 20 400 - x
oder, auf beiden Seiten (5%/12)*r*S11 i=1 i und x addiert,
x + 11*x*5%/12 = (5%/12)*r*S11 i=1 i + 20 400
x ausgeklammert:
x(1+5%*11/12) = (5%/12)*r*S11 i=1 i + 20 400
auf beiden Seiten durch (1+5%*11/12) geteilt:
x= [(5%/12)*r*S11 i=1 i + 20 400]/(1+5%*11/12)
und mit
S11 i=1 i = 66 und r=1700 eingesetzt ergibt sich jetzt x = 19 952,99 auf den Pfennig genau wird man's wohl nie hinkriegen, zumal bei den Banken ja auch nur ganze DM verzinst werden und die Pfennige für die Verzinsung untern Tisch fallen; übrigens: kann mir jemand sagen, ob diese Regelung, Pfennige nicht zu verzinsen, im Zeitalter, wo höhere Rechengenauigkeit keine um so viel höheren Kosten mehr mit sich bringt, überhaupt noch aktuell ist; ich meine sogar, ich hätte mal gelernt, dass Banken die Pfennige grundsätzlich nicht kaufmännisch aufrunden, sondern bei einer Zinszahlung von z. B. 3,9 Pf nur 3 Pf gutschreiben <--- keine Ahnung
Diese Zahl habe ich ja bereits in meinem Beispiel zur Einführung der allgemeinen Formel benutzt, und wie du nachrechnen kannst, stimmt sie (bis auf den einen Pfennig).
Die Antwort auf die Frage in a) ist also:
Es müssen 54 953 DM auf dem Sparbuch gutgeschrieben sein, um davon die 35 000 DM Kursgebühr und die vorschüssigen Monatsraten für die Lebenshaltung decken zu können.
Teil b) folgt sobald ich Zeit habe
Übrigens: war dies eine Aufgabe von der Handelsschule oder von einer Univorlesung in Wirtschaftsmathe ? |
Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 15:59: |
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Also ich sehe gerade, dass das Summenzeichen je nach Browser anders dargestellt wird, aber nie so, wie ich es beabsichtige, also stell dir einfach vor, statt "S11 i=1 i" stünde dort jeweils
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11), was 66 ergibt.
Die 66 ist übrigens der Stichpunkt, wenn man die mittlere Verzinsung betrachten will: sie wird ja jedesmal durch 12 geteilt, gekürzt ergibt dies elf halbe, das bedeutet, die Hälfte der Monate von Anfang Januar bis Ende November wird das Geld genauso verzinst, als wenn alles bis Mitte Juni auf dem Sparkonto läge. Ich werde auf diesen Sachverhalt noch in meiner Lösung zu b) zurückkommen.
Besser wär's natürlich, wenn ich erstmal ein feedback erhielte, damit ich sehe, ob die Lösung überhaupt gelesen wird.
Bernd |
Melanie
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 23:45: |
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Hallo Bernd!
Deine ausführliche Erklärung müßte im großen und ganzen stimmen (herzlichen Dank schon mal dafür).
Ich habe aber noch ein Problem damit. Ich schaffe es nicht, das ganze auf meine Formeln umzuwandeln.
Vielleicht kannst du mir auch dabei helfen:
Barwert_vorsch.=(R*(1-v^(k*n)))/(1-v^k)
R=Rate
v=1/(i+1)=0,95238..
k=1/12 (Anzahl d. Zinsperioden/Anzahl der Rentenperioden)
n=3*12=36
Endwert_nachsch.=(R*(r^(k*n)-1))/(r^k-1)
R=Rate
r=1+i=1,05
k=1/12
n=3*12=36
Es wäre für mich einfacher, wenn du die ersten 3 Jahre nachschüssig rechnen würdest. Dann würde es nämlich auch nicht dieses Zinsenproblem geben.
Danke für die Mühe nochmals!
Ciao,
Nelly |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 17:40: |
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Moment, mit den ersten drei Jahren hatte meine Lösung bis jetzt noch gar nichts zu tun. Die drei Jahre spielen doch erst in b) eine Rolle.
Danke für die Rückmeldung, ich rechne weiter...
Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 19:55: |
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Aber gut, dass du gesagt hast, dass die Einzahlungen während der drei Jahre nachschüssig erfolgen sollen, das habe ich bis jetzt noch überhaupt nicht gemerkt, dass das in der Aufgabe gar nicht festgelegt war. Dort stand ja nur "Wieviel müssen Sie in den nächsten 3 Jahren pro Monat auf Ihr Sparbuch überweisen, damit..." und nicht, ob am Anfang oder am Ende des Monats.
Der Haken an der Umwandlung von meinen auf deine Formeln ist leider der, dass ich, wie ich am 28. um 13:11 Uhr schon gesagt habe, "die Rentenbarwertformel für monatliche vorschüssige Auszahlung nicht zur Hand" habe, sondern nur die für die jährliche nachschüssige Zahlung. Das heißt, ich werde das Problem so betrachten, wie ich das schon am 28. um 16:59 Uhr angekündigt habe, dass ein Betrag von z. B. 1000 Mark am Ende jeden Monats eingezahlt zinstechnisch so behandelt werden kann als wenn man 12 000 Mark auf einmal genau Mitte Juli einzahlt; rechne nach: es ergeben sich dieselben Zinsen von 275 DM bei 5%, egal, welche Einzahlungsart man wählt.
Das könnte ich jetzt zwar auf eine allgemeine Formel umschreiben, bloß ich habe nicht sooo viel Zeit, denn immerhin muss man sich ja schon ziemlich sicher sein, wenn man hier 'ne Lösung reinstellt, dass die auch richtig ist, und das bin ich mir bei 'ner allgemeinen Formel solange nicht, bis sie sich genügend bewährt hat. Vielleicht komm ich ja doch noch auf deine Formeln.
Ich werde jetzt erstmal Teilaufg. b) bearbeiten.
Übrigens: Die Rechnung zu a) wäre viel einfacher gewesen, wenn im Aufgabentext gestanden hätte, dass die Auszahlungen nachschüssig sein sollten,
also wörtlich etwa "...Lebenshaltungskosten von 1.700 DM, die Ihnen Ihre Bank immer am Monatsende überweisen wird." Dann hätte das mit den Zinsen von Dezember gepasst, die sofort in die letzte Auszahlung mit reingerutscht wären.
Das war ja das, was die Sache so verkompliziert hat und weshalb ich gezweifelt habe, dass sowas an der Handelsschule gerechnet wird.
Der einzige Haken wäre dann nämlich gewesen, dass der/die arme Azubi jeden Monat auf sein Geld warten muss... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 15:23: |
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Hallo Nelly,
ich habe die Rentenendwertformel für monatliche nachschüssige Einzahlung immer noch nicht gefunden, ich bin mir jetzt aber ziemlich sicher, die richtige Zahlenlösung für dein Problem gefunden zu haben.
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Wie schon gesagt, habe ich nur die Rentenendwertformel für jährliche nachschüssige Einzahlung zur Verfügung, wenn monatlich gezahlt wird, muss ich mir selber weiterhelfen.
Und zwar sind beide Zahlungsweisen, wie bereits gesagt, zinstechnisch dieselben, mv entspricht jv, mn entsricht jn:
(mv) monatliche vorschüssige Einzahlung in einem Kalenderjahr
(jv) einmalige Einzahlung Mitte Juni desselben Jahres
(mn) monatliche nachschüssige Einzahlung in einem Kalenderjahr
(jn) einmalige Einzahlung Mitte Juli desselben Jahres
Für unser Problem sind mv/jv irrelevant, wir betrachten (mn) und (jn):
Es gibt dieselben Zinsen, ob man jetzt 1420.09 DM jeden Monatsletzten einzahlt oder einmalig den zwölffachen Betrag von 17 041.08 DM Mitte Juli.
Nehmen wir einmal an, die Ausbildung soll Januar 2004 beginnen.
Dann setzen wir den Einzahlungszeitraum der drei Jahre auf 2001 bis 2003 fest (so dass Ende 2003 die 54 953 DM aus a) zur Verfügung stehen sollen).
Die "endmonatlich" im Jahr 2003 gemachten Zahlungen können ersetzt werden durch eine Zahlung Mitte Juli 2003.
Die "endmonatlich" im Jahr 2002 gemachten Zahlungen können ersetzt werden durch eine Zahlung Mitte Juli 2002.
Die "endmonatlich" im Jahr 2001 gemachten Zahlungen können ersetzt werden durch eine Zahlung Mitte Juli 2001.
Also haben wir jetzt folgendes Geldanlageproblem:
Im Zeitraum Mitte Juli 2000 bis Mitte Juli 2003 wird jährlich nachschüssig an den oben genannten Terminen der Geldbetrag r eingezahlt.
Ab Mitte Juli 2003 liegt das eingezahlte Geld noch fünfeinhalb Monate bis Ende 2003 auf dem Sparbuch.
Also rechnen wir von hinten nach vorn:
Wenn Ende Dezember 2003 DM 54 953 benötigt werden, so muss Mitte Juli der Betrag Rn auf dem Sparbuch sein, er wird 5,5 Monate mit 5% verzinst, also wird die Zinseszinsformel
Rn * (1 + 0.05 * 5,5/12) = 54 953 umgestellt nach Rn; dies ergibt
Rn = 53 721.87, was der Rentenendwert für die drei Jahre von Mitte Juli 2001 bis Mitte Juli 2003 ist.
Rentenendwertformel für jährliche nachschüssige Zahlung:
Rn = r(qn-1)/(q-1),
wobei bei meinen Formeln die Namenbelegung etwas anders ist als bei deinen:
Rn = Rentenendwert
r = regelmäßige järliche Rate
n = Anzahl der Zahlungen = Anzahl der Jahre
q = 1 + p/100 müsste klar sein, qn heißt dann "Aufzinsungsfaktor"
(also hier ist q=1.05 wegen p=5, bei dir ist i=p/100=0.05 und damit 1+i = 1.05)
Da ich zunächst nach der jährlichen Sparrate frage (um später auf die monatliche zu kommen), stelle ich die Formel nach r um:
r = Rn (q-1)/(qn-1)
Mit n=3 und Rn = 53 721.87, q=1.05 ergibt dies
r = 17 041.04
Und somit die ersatzweise monatliche Sparrate von
r/12 = 1420.09
Also muss in den drei Jahren von Januar 2001 monatlich nachschüssig 1420.09 DM eingezahlt werden, damit bis Dezember 2003 die in a) benötigten 54 953 DM zusammenkommen.
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Bitte folgendes nur lesen, wenn es dich stört, dass ich statt der monatlichen Zahlungen meine jährlichen Ersatzzahlungen bis in den Juli 2000 hinein vorverlegt habe:
Das bringt die Rentenendwertformel ja nun mal mit sich, genaugenommen ist das vergleichbar mit der Fragestellung:
"Bei monatlicher Ratenzahlung muss ich erst Ende Januar 2001 das erste Geld überweisen. Die Formel rechnet aber auch schon mit dem Zeitraum ab Anfang Januar. Wieso?" - Das ist ok, denn wenn die Januarzahlung als nachschüssig betrachtet wird, muss man den Januar als Monat ja ganz mitzählen, sonst würde man ja nur elf Monate als Zahlungszeitraum haben.
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Vielleicht werde ich es ja noch schaffen, die Formel für monatliche nachschüssige Einzahlung selber aufzustellen, aber ich bin der Ansicht, solange man sowas irgendwo nachlesen kann, warum dann selber die Mühe machen, wobei man ja doch nicht 100%ig sicher weiß, ob man's richtig macht.
Ich habe unter Rubrik Universitäts-Niveau:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler:
Rentenformel bei monatlicher Zahlungsweise eine Anfrage gemacht, ob jemand die Formeln kennt, aber bis jetzt war da noch nichts.
Wenn du sie aus guter Quelle besorgen kannst, will ich auch versuchen, sie zu erklären, aber, so wie ich deine Formeln jetzt vor mir habe, kann ich sie nicht deuten:
Barwert_vorsch. = R * (1-vkn)/(1-vk)
R=Rate
v=1/(i+1)=0,95238..
k=1/12 (Anzahl d. Zinsperioden/Anzahl der Rentenperioden)
n=3*12=36 <--- dies müsste die Anzahl der ..perioden sein
Endwert_nachsch. = R(rkn-1)/(rk-1)
R=Rate
r=1+i=1,05
k=1/12
n=3*12=36 |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 16:02: |
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Versuch doch mal, deine Lösung von einem Programm nachrechnen zu lassen. Auch wenn es den Lösungsweg nicht aufzeigen kann und mathematisch gesehen sowieso noch lange kein Beweis ist, dass man die richtige Formel richtig verwendet hat, es bringt doch eine gewisse Sicherheit, wenn man dieselbe Zahl ausgerechnet hat wie das Programm.
Versuch mal den download unter http://www.teach-online.karlsruhe.de/files/lamathe.htm
Programmname:HKGLD123.ZIP
Bei mir hat der Download allerdings nicht geklappt. Vielleicht klappt's bei dir ja.
Falls nicht, gib mal "hkgeld" in eine Suchmaschine ein.
auch noch zu dem Thema passen könnte "PSZINS13.ZIP"
auf derselben Seite. |
Melanie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 19:52: |
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Hallo Bernd!
Vorerst vielen, vielen Dank für deine Mühe!!!!
b) stimmt, wenn man deine Lösung von a) nimmt. Bekomme ich auch raus.
Wenn ich bei meiner Formel einsetze, dann kommt bei a) 92047,64 heraus.
Ich gehe wie folgt vor:
Endwert_nachsch.(36) = Barwert_vorsch.(36) + 35000
Was sagst du zur rechten Seite von dieser Gleichung? Vielleicht hab ich ja einen falschen Ansatz.
lG,
Nelly |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 21:41: |
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Wenn die Formeln, die sich hinter den Begriffen Endwert_nachsch.(36) und Barwert_vorsch.(n) verbergen, stimmen, dann müsste dies richtig sein bis auf die zwölf statt 36 beim Barwert:
Endwert_nachsch.(36) = Barwert_vorsch.(12) + 35000 |
Melanie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 22:21: |
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Wieso kommst du auf 12? Da gehört ganz sicher 36. Ich rechne ja mit "monatlichen" Lebenshaltungskosten von 1700, die immer am Monatsanfang überwiesen werden.
Ich bin mir fast sicher, dass meine Lösung (wenn die Gleichung so richtig ist) stimmt, außer du beweist mir das Gegenteil.
Nelly |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 03:40: |
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ich denke mal, der Endwert der Einzahlung wird in 36 Monaten erreicht, aber für die Auszahlung sind doch nur 12 Monate vorgesehen, oder nicht?
Übrigens: was ist das denn nun für ein Mathekurs, wo man solche Fragen bekommt ? |
Melanie
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 14:38: |
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Hallo Bernd!
Mein Gott bin ich blöööd. Du hast natürlich vollkommen Recht. Die Ausbildung dauert ja nur 1 Jahr und nicht 3 Jahre, so wie ich angenommen habe. Jetzt ist alles klar. :-)))
Zur Frage: "Was ist das denn nur für ein Mathekurs, wo man solche Fragen bekommt?"
Das ist eine BWL-Übung für Anfänger auf der UNI. Aber solche Beispiele haben wir auch in der Handelsakademie (= in Deutschland Handelsschule oder?) gerechnet. Also, im Grunde genommen ist das Beispiel ja nicht soooo schwer.
Übrigens: Das file HKGLD123.ZIP funktioniert auch bei mir nicht. Wirklich schade! :-(
Viele liebe Grüße und Danke nochmals,
Nelly |
Maria
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 18:53: |
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Hi,
ich brauche eine Formel, um von einem beliebigen Datum den Wochentag zu erhalten.
Z.B.: Goethes Geburtstag 28.08.1749 und 20.08.2008. Mit Erklärung bitte, dass ich es auch besser nachvollziehen kann. |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 20:15: |
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Hi Maria,
Häng doch neue Fragen nicht hintendran sondern öffne einen neuen Beitrag! |
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