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Sara
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 12:33: | 
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Hi, habe ein riesiges Problem,habe eine Aufgabe aufbekommen die wir im unterricht schon angefangen haben und nun fertig rechnen sollen. Und ich verstehe nur Bahnhof!ALSO...
Es sind die Graphen einer Menge von Funktionen 3.Ordnung gegeben,die zum Ursprung punktsymmetrisch sind und durch den gemeinsamen Punkt P(2/4) verlaufen!
a)Ermittle den Funktionsterm zu demjenigen Graphen, dessen Wendetangente die Steigung 8/3 hat. Bestimme Tangentensteigung, sowie Hoch- und Tiefpunkt.
b)Stelle nun den Term zu der Funktionsschar auf und wähle dabei als Parameter t die Steigung der Wendetangente. Weshalb muß t=2 ausgeschlossen werden?Für welche Werte von t erhält man außer dem Ursprung keine weiteren Schnittpunkte der Graphen Gt mit der x-Achse?
a)Haben wir bereits gerechnet und einen teil von b)auch,ich füge hinzu:
f(x)=ax^3+cx
P(2/4) liegt auf allen Graphen, es gilt also
f(2)=4 und damit 4=a*2^3+2*c => c=-4*a+2
Funktionsgleichung mit dem parameter a:
f(x)=a*x^3+(-4*a+2)x
Da die Funktions punktsym. ist liegt der Wendepunkt bei (0/0)
für Wendetangente:8/3=a*0^3+(-4*a+2)*0
=> -1/6*x^3+8/3*x
b)Wendetangente (0/0);x=t
Steigung im Wendepunkt f'(x)=3ax^3+2-4a
=> t=3a*0^2+2-4*a => a=2-t/4
f(t)=2-t/4*t^3+(-a(2-t/4)+2)*t
VON DIESEM FUNKTIONSTERM MÜSSEN IN ABHÄNGIGKEIT ZU t DIE NULLSTELLEN ERMITTELT WERDEN!!!
Ich hoffe mir kann jemand helfen!!!Danke!!! |
ub40
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 20:07: |
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ich vermute, daß die Nullstellen in Abhängigkeit zu a ermittelt werden sollen. Korrekt?
2 - (t/4)*t3 + [-a(2-t/4)+2]*t = 0
<=> 2 - t4/4 + (-2a + (a/4)t + 2)*t = 0
<=> 2 - t4/4 + (a/4)t2 + (-2a+2)t = 0
Das ist eine nichttriviale Gleichung 4.Grades, deren Lösung normalerweise nicht in der Schule verlangt wird.
Es gibt dafür zwar Cardanosche Formeln und Näherungsverfahren, aber ich vermut hier, daß Du f(t) falsch ermittelt hast.
Rechne das am besten nochmal nach und melde Dich wieder.
ub40 |
Zorro
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 22:35: |
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Hi Sara ... fangen wir mal systematisch an:
f(x) = ax³ + bx² + cx +d
f'(x) = 3ax² + bx + c
f''(x) = 6ax +b
wir wissen:
[1] f(0)=0
... Punkt (0;0)
d=0
[2] f''(0)=0
... Wendepunkt (0;0)
b=0
[3] f'(0)=8/3
... Steigung im Wendepunkt
c=8/3
[4] f(2)=4
... Punkt (2;4)
4 = 8a + 8/3
a = -1/6
Funktionsgleichung –1/6 x³ + 8/3
soweit warst Du schon, und jetzt zurück zu
f'(x) = 3ax² + bx + c
wenn die Steigung in (0;0) mit der Variablen t bezeichnet werden soll, dann erhältst du
f'(0)= t = c
und damit
[4] f(2)=4
4 = 8a + t
a = (2-t)/4
Allgemeine Funktionsgleichung:
f(x) = (2-t)x³/4 + tx
Man erkennt, daß t=2 auszuschließen ist, weil man sonst eine Geradengleichung
erhält.
Für die Nullstellen
0 = x ((2-t)x²/4 + t)
0 = ((2-t)/4)x² + t
x² = -4t/(2-t)
x² = 4t / (t-2)
... wieder ein Grund mehr, t=2 auszuschließen ...
zusätzliche Nullstellen erhält man nur, wenn t>2 oder t<0
... bitte überprüfen ... ist schon spät
Gute Nacht, Zorro |
Michel Herrmann (Monsterkill)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 15:35: |
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Unser Lehrer hat uns folgende Aufgabe gegeben.
Finden sie die Nullstellen folgender Funktion
f(x)=x³-3x²+1 durch systematisches Probieren mit dem Bisektionsverfahren und durch das allgemeine Iterationsverfahren heraus.
Wie zum Geier geht das? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 00:52: |
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Ich bin sicher, dass irgendwann jemand hier vorbeikommt, der dir das viel genauer sagen kann als ich, nur, eh das soweit ist, sag ich dir schonmal, was ich darunter verstanden habe:
Am besten sofort am Beispiel:
du brauchst zwei Startwerte, von denen ein Funktionswert positiv, der andere negativ sein muss, z. B. x=0 und x=1
setze sie ein, f(0)=1, f(1)=-1
vorausgesetzt wurde noch, dass die Funktion f(x) stetig sein muss. Dann hat sie zwischen 0 und 1 eine Nullstelle, da der Graph die x-Achse irgendwo schneiden muss, um vom Punkt (0;1) in einem kontinuierlichen Linienzug zum Punkt (1;-1) zu kommen.
Jetzt kommt der Name "Bisektion" ins Spiel, von dem ich vermute, dass er soviel bedeutet wie "Zwei Abschnitte".
Du teilst das Ausgangsintervall [0;1] in zwei neue Intervalle ein, wobei in einem von beiden die Nullstelle liegen muss.
z. B. x = 1/2 als Grenze.
f(1/2) = 0.375, dies ist noch auf derselben Seite der x-Achse wie die f(0)=1, also muss die Nullstelle zwischen 1/2 und 1 liegen.
Neues Intervall: [0.5;1]
nimm als Grenze z. B wieder die Mitte, also 0.75, berechne den Funktionswert f(0.75)=-0.265625, diesmal liegt er auf der "Unterseite" der x-Achse, wähle also die 0.75 als rechte Grenze.
Neues Intervall ist: [0.5;0.75]
Grenze: (0.5 + 0.75)/2 = 0.625, f(0.625)=0.072265625 > 0, also "Oberseite" der x-Achse, also 0.625 als linke Grenze.
Neues Intervall jetzt: [0.625;0.75]
Grenze: 0.6875, f(0.6875)=-0.093017578125
(Du brauchst übrigens nicht alle Nachkommastellen des Funktionswertes anzugeben, der Wert muss sich nur von Null unterscheiden, also theoretisch reicht schon eine Stelle, die nicht Null ist)
und so geht das weiter, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist, z. B. bis ein Rechner nur noch die Null liefert, dann muss man halt den letzten x-Wert davor als beste Näherung nehmen. |
Linker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 22:47: |
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siehe dazu auch http://titania.tuwien.ac.at/numerics/kap04/d01_00bi.htm |
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