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Erwin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. August, 2000 - 11:54: | 
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Hallo, hab da mal ne Frage: Wie bildet man die Umkehrfunktion von y=x²-5x+6 und von y=2*die Wurzel aus (x-2).
Danke |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. August, 2000 - 01:45: |
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Das Prinzip ist immer dasselbe. Die Gleichung muß nach x umgeformt werden und dann ist die Umkehrfunktion gerade die Gleichung,die am Ende für x steht,nur daß x und y vertauscht werden müssen.
y=2Ö(x-2) => y2/4=(x-2) => x=y2/4+2
Also f-1(x)=2+x2/4
Die erste ist nicht eindeutig,da es zwei Bereiche gibt in denen y umkehrbare ist. Mit Hilfe der pq-Formel kannst Du die beiden Terme der Umkehrfunktion errechen. |
Invader
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 20:38: |
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Hi,
folgende Aufgabe:
f(x)=(-2*x+6)/(x+1)
a) Wie lautet die Umkehrfunktion
b) Zeigen Sie das f streng monoton fallend ist !
c) Gleichung der Geraden g (A;B) ?
cu
P.S.: Danke schonmal im Voraus...) |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 23:51: |
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a) y = (6-2x)/(x+1) | * (x+1)
yx + y = 6-2x
yx + 2x = 6 - y
(y+2)x = 6-y
x = (6-y)/(y+2)
Vertausche jetzt noch x und y, um die Umkehrfunktion anzugeben.
b) Funktion ist streng monoton fallend, wenn gilt
a < b <=> f(a) > f(b)
***************************************************************************
gehe aus von f(a) > f(b), also
(6-2a)/(1+a) > (6-2b)/(1+b) | * (1+a) * (1+b)
und versuche, dies auf a < b umzuformen
*****
1) schränke ein: 1+a > 0 <=> a>-1 und 1+b > 0 <=> b>-1
(6-2a)*(1+b) > (6-2b)*(1+a)
6+6b-2a-2ab > 6+6a-2b-2ab | -6+2a+2ab+2b
8b > 8a
a < b
also ist f(x) für x > -1 streng monoton fallend
*****
2) jetzt mit Einschränkung 1+a < 0 <=> a<-1 und 1+b < 0 <=> b<-1
(6-2a)/(1+a) > (6-2b)/(1+b) | * (1+a) * (1+b)
da jetzt mit zwei negativen Zahlen (1+a) und (1+b) multipliziert wurde, also effektiv mit der positiven Zahl (1+a)*(1+b), bleibt das Relationszeichen erhalten:
(6-2a)*(1+b) > (6-2b)*(1+a)
6+6b-2a-2ab > 6+6a-2b-2ab | -6+2a+2ab+2b
8b > 8a
a < b also ist f(x) auch streng monoton fallend für x < -1
*****
Jetzt für den Fall a < -1 < b, also a+1 < 0 und 0 < b+1
(6-2a)/(1+a) > (6-2b)/(1+b) | * (1+a) * (1+b)
Diesmal ist einer der Multiplikatoren negativ, der andere positiv, also dreht sich das Relationszeichen diesmal um:
(6-2a)(1+b) < (6-2b)(1+a)
6+6b-2a-2ab < 6+6a-2b-2ab
6b-2a < 6a-2b
8b < 8a
b < a
in den offenen Intervallen ]-¥;-1[ und ]-1;¥[ ist die Funktion also streng monoton fallend, bei x0 = -1 liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
***************************************************************************
Vergleiche die erste Ableitung f'(x) = [-2(x+1)-(6-2x)*1] / (x+1)2
= [-2x-2-6+2x] / (x+1)2
= -8/(x+1)2
< 0 für alle x € IR
da die Funktion in x=-1 nicht differenzierbar ist, folgt dieselbe Aussage wie oben:
Die Funktion f(x) ist in ]-¥;-1[ und ]-1;¥[ streng monoton fallend.
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c) hier könnte mit g möglicherweise die Asymptotenfunktion gemeint sein.
f(x) = -2 + 8/(x+1) = -2(x+1)/(x+1) + 8/(x+1) = (-2x -2 + 8)/(x+1) [stimmt überein mit f(x)]
diese geht für x ® ± ¥ über in
g(x) = -2 als waagrechte Asymptote
******
Senkrechte Asymptote ist dann noch y = -1 (vgl. b) |
doug
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 15:25: |
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Hi,
ich suche die Umkehrfunktion zu:
a) y=x*|x|+2
b) y=x-(1/x)
Danke schon mal im voraus. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 21:06: |
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Hi doug, bei neuer Frage neuer Beitrag.
Zu Deiner Aufgabe:
Umkehrfunktion von a)
x = +w(y-2) für y>=2
und x = -w(2-y) für y<2
Die gegebene Funktion ist ja quasi zusammengesetzt aus 2 Funktionen, das gleiche gilt dann für die Umkehrfunktion.
Man kann sich noch etwas Mühe geben, um eine Form mit Betragsstrichen zu finden:
x = (y-2)/|y-2| * w(|y-2|)
Bei b) Definitionsbereich ist R{0}.
Außerdem ist die Funktion nicht global umkehrbar, denn das gleiche y kann mit verschiedenen x erhalten werden. Beispiel: x=1 => y=0 und x=-1 => y=0.
Man kann die Funktion also nur umkehren, wenn man den Definitionsbereich auf R+ oder auf R- einschränkt.
Wenn man das im weiteren beachtet, darf man mit x multiplizieren, ergibt sich x² -yx-1 = 0
Hat die Lösungen: y/2 +/- w(y²/4 +1)
Von den zwei Lösungen kommt aber nur eine in Frage. Wenn der Definitionsbereich auf R+ eingeschränkt wurde ist x = y/2 + w(y²/4 +1). Das das so sein muß, sieht man auch an f(1) = 0, also f-1(0) = 1.
Für R- entsprechend.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 22:10: |
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Gleiche Aufgabe bei http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/8480.html?976226946 |
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