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Beitrag |
    
dave
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 10:59: | 
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Kann mir jemand helfen:
Wie kann ich die Glieder von rekursiven Folgen berechnen, ohne die vorhergehenden zu berechnen!
Bitte zeigen und erklären an diesem Beispiel!
Fibonacci-Folge
an = an-1 + an-2
mit: a1 = 1, a2 = 1
Danke für euer Bemühen
David |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 17:15: |
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Hi Dave.
Ganz allgemein:
Ein Verfahren mit dem man bei beliebigen rekursiven Folgen das n-te Glied berechnen kann, ohne das (n-1)te Glied berechnet zu haben, gibt es nicht.
Es gibt natürlich Folgen bei denen das geht, aber es gibt keine Vorgehensweise, die bei allen rekursiv definierten Folgen funktioniert.
Ob es nun bei der Fibonacci-Folge einen Weg gibt, weiß ich nicht. Ich könnte mir aber vorstellen, dass es auf jeden Fall eine Näherungsfunktion gibt, die bei großen n sehr nahe an die Fibonacci-Folge herankommt.
Vieleicht weiß ja jemand anderes mehr...
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Dave
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 17:27: |
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Danke für deine Antwort!
David |
Bodo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:05: |
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Es gibt eine exakte Formel bei der Fibonaccifolge ich habe sie nur gerade nicht zur Hand. Da kommt ziemlich oft Ö5 vor bzw. die Goldene-Schnitt Zahl (1+Ö5)/2.
Hat jemand anderes die Formel evtl. parat?
Aber schämen brauchst Du die nicht, da die meisten Mathelehrer noch nicht einmal wissen, daß es so eine Formel gibt, also kennen sie sie auch nicht (bitte niemand beleidigt sein, natürlich gibt es Ausnahmen)
Bodo |
Bodo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:10: |
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Es gibt eine exakte Formel bei der Fibonaccifolge ich habe sie nur gerade nicht zur Hand. Da kommt ziemlich oft Ö5 vor bzw. die Goldene-Schnitt Zahl (1+Ö5)/2.
Hat jemand anderes die Formel evtl. parat?
Aber schämen brauchst Du die nicht, da die meisten Mathelehrer noch nicht einmal wissen, daß es so eine Formel gibt, also kennen sie sie auch nicht (bitte niemand beleidigt sein, natürlich gibt es Ausnahmen)
Bodo |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:24: |
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Hi
Die Formel ist folgende: (w bedeutet Wurzel aus)
Sei a=(1+w(5))/2, b=(1-w(5))/2, dann ist:
Fn=(an-bn)/w(5)
Es gibt uebrigens fuer alle rekursiv definierten Folgen ein Verfahren, wenn folgende Kriterien erfuellt sind: Die Rekursion ist linear, und es kommen keine konstanten Terme, oder Terme, die mit der Folge an sich nichts zu tun haben, dabei vor, es sei denn, man kann sie durch irgendwelche Manipulationen eliminieren. Ein Beispiel dafuer findest Du hier: (falls ich es hinkriege..., falls nicht, suche in Klassen 11-13 nach neusten Beitraegen von mir, dann muesstest Du auch darauf stossen...)
Loesen von rekursiv definierten Folgen
viele Gruesse
SpockGeiger |
jens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 18:50: |
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Brachistochrone (Variationsrechnung)
Kann mir bitte mal einer bei der Berechnung der B. mit der Euler-Lagrange-Gleichung F=((1+y´)/y)^0.5 helfen? Bitte ausführliche Berechnung inklusive der Dgl! Danke im voraus!!!
Tschüß |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 20:08: |
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Hi Jens,
Schau im Archiv (Nr.3988, Stichwort "Brachistochrone" ) nach.
Dort findest Du meine ausführliche Herleitung vom 15.August a.c.
Mit freundlichen Grüßen
H,R.Moser,megamath |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 20:24: |
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Hi Spockgeier!
Deine Kriterien:
-Rekursion ist linear
-es kommen keine konstanten Terme, oder Terme, die mit der Folge an sich nichts zu tun haben, dabei vor, es sei denn, man kann sie durch irgendwelche Manipula, dabei vor, es sei denn, man kann sie durch irgendwelche Manipulationen eliminieren.
lassen doch ehrlich gesagt nicht mehr viele Folgen übrig, oder?
Ich muss aber zugeben, dass ich bis jetzt noch nicht weiß, was Du mit "Terme, die mit der Folge an sich nichts zu tun haben" meinst...
Achja, Bodo: Ich habe wirklich noch nichts von dieser Formel gewusst, aber keine Angst: Ich habe nicht vor, mich zu schämen.;-)
In diesem Sinne,
Ciao
Cosine |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 21:05: |
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Hi Cosine
Ein Beispiel fuer einen Term, der nicht unterzubringen ist, ist in dem oberen Link angegeben, allerdings kann man ihn da wegkriegen.
andere Beispiele waeren:
a(n+1)=a(n)+a(n-1)+1
oder
a(n+1)=a(n)-a(n-1)+n²
Dass viele Faelle von vorne herein ausscheiden, dem kann ich nicht zustimmen, denn die meisten interessanten Probleme sind linear, und dass man ALLE linearen Rekursionen loesen kann, ist fuer mich schon sehr erstaunlich... (ganz nebenbei, bei Gleichungssystemen ist es das selbe, die nichtlinearen sind meistens gar nicht explizit loesbar)
viele Gruesse
SpockGeiger |
dave
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 14:11: |
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Hallo Spockgeiger.
Ich hab mir deine Erklärungen angeschaut!
Trotzdem komm ich bei manchen Sachen nicht ganz genaum mit. Wir haben Folgen und Reihen erst heuer durch genommen.
Könntest du es detailiert mit meinem Beispiel nochmals erklären?
David |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 16:31: |
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Hi Spockgeier!
Du hast natürlich Recht:
Die Tatsache, dass man alle linearen Rekursionen lösen kann, ist schon erstaunlich.
Allerdings habe ich immer noch nicht kapiert, was für Terme man jetzt nicht unterbringen kann... Vielleicht sitze ich aber auch nur auf der Leitung im Moment... (Ich habe Deinen Link durchgelesen, bin aber immer noch nicht viel schlauer...)
Nur hätte ich Dein zweites Beispiel
a(n+1)=a(n)-a(n-1)+n²
jetzt als ein Beispiel genommen für einen Term, der mit der Folge nichts zu tun hat (das n² meine ich)
Ich muss zugeben, ich hatte bei Rekursionen erstmal nur an Rekursionen von an auf an+1 gedacht. (da gibt's bestimmt einen Fachbegriff dafür, vielleicht Rekursionen erster Ordnung oder so... keine Ahnung)
Sowas, wie:
an+1=f(an) mit vorgegebener Funktion f
oder
an+1=n!*cos(an)
oder
an+1=Ö(bn-arctan(p*an) mit vorgegebener Folge {bn}
Diese Beispiele habe ich mir ebengerade ausgedacht. Keine Ahnung, ob sie irgendeinen Sinn machen.
Ciao
Cosine |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 18:27: |
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Hi Cosine, hi dave
Unabhaengig davon, ob erster Grad, oder nicht, eine explizite Loesung Deiner Beispiele, da sie nicht linear sind, wird schwirig. Eine allgemeine vorgehensweise wird schon gar nicht moeglich sein.
Zu Dir Dave
Ich denke mir jetzt einfach irgendeine willkuerlich Folge aus, die noch einen grad komplizierter ist:
a0=3
a1=-2
a2=1
und das wichtigste:
an=2an-1+an-2-2an-3
Nun lassen wir mal die Anfangsbedingung beiseite, und nehmen an, die Folge lasse sich darstellen an=xn, muessen jetzt nur noch x rausfinden.
Nach einsetzen kriegen wir raus:
xn=2xn-1+xn-2-2xn-3
Nachdem wir xn-3 rauskuerzen, und alles auf eine Seite bringen, kriegen wir raus:
x³-2x²-x+2=0
Die Loesungen sind -1,1 und 2
Ohne die Anfangsbedingungen entsprechen alle Folgen: (-1)n,1(n),2n der Rekursionsformel.
Also ist die gesamte Formel eine Linearkombination der drei Folgen, da wir drei Werte kennen, ergibt sich daraus:
a+b+c=3
-a+b+2c=-2
a+b+4c=1
Die Loesung ist:
a=13/6 b=3/2 c=-2/3
Also ist die Formel:
an=13/6*(-1)n+3/2-2/3*2n
viele Gruesse
SpockGeiger |
dave
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 19:23: |
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Hallo SpockGeiger,
Dank für deine ausführliche Erklärung.
Nun kenn ich mich nun aus.
David |
Heidi Wallat (Sosmatheidiot)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 14:45: |
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Hallo Ihr!Bin hier neu,kann mir mal jemand helfen?AAAAAlsooo:
Aufgabe:Eine Schar von Zahlenfolgen ant ist durch die expliziete Bildungsvorschrift gegeben:
ant=(t*n+1)/n
Bestimme die Folgeglieder a2,a3,a250 für die Folge an2 mit dem Prarmeter: t=2.
Weise anhand einer exakten Monotonieuntersuchung nach,dass alle Zahlenfolgen antmonoton fallend sind! |
Dea
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 10:50: |
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Hallo Heidi,
nicht verzweifeln, es geht ganz einfach:
1.
an2=(2n+1)/n
a2=(2*2+1)/2=(4+1)/2=5/2
a3=(2*3+1)/3=(6+1)/3=7/3
a250=(2*250+1)/250=(500+1)/250=501/250
Intuitiv klar: Folge ist monoton fallend:
a2=2,5; a3=2komma Periode3; a250=2,004 etc.
2.exakt und allgemein Folge ist monoton fallend:
Wenn eine Folge monoton fallend ist, heißt das, daß ein späteres Folgenglied kleiner ist als ein vorhergehendes, also
an > an+1
Daher gibt es 2 Möglichkeiten für eine Monotonieuntersuchung:
a) an - an+1 > 0
b) an+1/an < 1
Je nachdem, welche leichter zu rechnen ist.
Hier ist a) besser:
an=(tn+1)/n
an+1=(t(n+1)+1)/(n+1)=(tn+t+1)/(n+1)
(tn+1)/n-(tn+t+1)/(n+1)>0
multipliziere diese Ungleichung mit n(n+1), um die Nenner zu entfernen
(tn+1)(n+1)-(tn+t+1)n>0
tn^2+tn+n+1-tn^2-tn-n>0
1>0
fertig |
Heidi Wallat (Sosmatheidiot)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 12:04: |
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Dankeschön!Ich glaub ich habs geschnallt!Is ja gar net so schwer! |
DIZZI
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 20:00: |
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Hi all,
betr : explizite Formel von Spockgeiger ?
(Fibonacci)
meiner Meinung nach stimmt die Formel nicht.
Wenn ich mir die Folge ausgeben lasse, dann
stimmen die Werte für kleines n nicht !
Ich denke, dass könnt ihr bestätigen, oder ?
ich habe eine andere / bessere Formel
hergeleitet, die EXAKT gilt, und
nicht näherungsweise.
Wenn mir eine Formel beispeilsweise 3,88 liefert
und aber 4 gemeint ist, dann ist die Formel
falsch.
Ausserdem funktioniert sie nicht im negativien Bereich.
Man kann ja die Fibonacci-Folge auch im negativen Bereich fortsetzen : ...-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,...
Meine Formel liefert alle Elemente richtig.
Wer interessiert ist an der Herleitung :
Ich habe meine Herleitung eingescannt, da ich keine Zeit für eine schöne Bildschirmdarstellung habe.
zu bekommen von d_i_z_z_i@hotmail.com
so, bis denn
Gruss DIZZI
ps: und von y(n+1)=y(n)+y(n-1) + n*n gibt es
keine explizite Formel ?
mal sehen ... |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 21:40: |
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Hallo Dizzy
in meiner Mail habe ich das Vorzeichen von b falsch, hier oben in dem Beitrag steht sie richtig, und sie ist exakt.
viele Grüße und ein frohes Neues Jahrtausend
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 21:44: |
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Nachtrag
Ich habe nie behauptet, zu Deiner als letztes angeführten Folge gäbe es keine explizite Formel, sondern nur, dass es nicht so mechanisch mit diesem Verfahren gibt.
viele Grüße
SpockGeiger |
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