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Beweise aus der Geschichte der Trigon...

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Sebastian
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Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 19:35:   Beitrag drucken

Ich schreibe gerade an meiner Facharbeit über die Geschichte der Trigonometrie und habe Probleme beim Verständnis einiger Beweise. Wer kann mir dabei behilflich sein?
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ari
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 11:14:   Beitrag drucken

Hi Sebastian, kannst Du Deine Fragen genauer stellen? Beweise für welche Sätze und welche (geschichtlichen) Beweise?
Ciao.
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Sebastian
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 14:46:   Beitrag drucken

Hier mein Problem:
Ich wußte leider nicht wie ich die Bilder in den Text bekomme.Wenn du mir erklären kannst wie man Bilder auf die Seite bekommt füge ich sie nachträglich hinzu, oder ich kann sie dir auch mailen.

Das eigentliches Anwendungsgebiet der Trigonometrie war bei den Griechen die Astronomie, in der ja vor allem sphärische Dreiecke auftreten. Zur Berechnung derartiger Dreiecke verwenden die Griechen fast ausschließlich den Satz von Menelaos. Die ebene Version dieses Satzes bezieht sich auf den Schnitt eines Dreiecks mit einer Geraden und lautet in seiner bei Ptolemaios auftretenden Form :
CE/CB = DE/DZ * AZ/AB
Beweis:
CE/CB = DE/BU = DE/DZ * DZ/BU = DE/DZ * AZ/AB
Diesen Satz überträgt Menelaos durch Projektion vom Kugelmittelpunkt aus auf Großkreisdreiecke auf der Sphäre. Dies ist in der Tat leicht möglich auf Grund des folgenden Lemmas: Wenn ein Durchmesser eines Kreises ein Kreissegment (innerhalb oder außerhalb des Kreises) schneidet, dann verhalten sich die doppelten Sehnen der dabei entstehenden Bogenstücke so wie die entsprechenden Sehnenstücke.
Der Beweis ergibt sich für den Fall des Schnitts innerhalb bzw. außerhalb des Kreises leicht aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AUE und EGV, aus der ja folgt, dass AE: GE = 2AU: 2VG ist.
Wenn nun auf der Sphäre ein Großkreis ein Großkreisdreieck schneidet, so lege man eine Ebene durch die drei Eckpunkte des Großkreisdreiecks, wende auf die Schnittfigur der Großkreise mit dieser Ebene den vorher bewiesenen Satz des Menelaos für die Ebene an und hierauf jeweils in der Ebene der Großkreise das soeben bewiesene Lemma. Es ergibt sich, wenn die Punkte der sphärischen Schnittfigur analog wie die der vorher betrachteten ebenen Schnittfigur bezeichnet werden:
crd 2CE/crd 2CB = crd 2DE/crd 2DZ * crd 2AZ/crd 2AB
Ein Beispiel aus dem Almagest (Berechnung der Deklination der Sonne aus ihrer Länge und der Schiefe der Ekliptik) soll die Anwendung des Satzes von Menelaos erläutern:
Vom rechtwinkeligen sphärischen Dreieck ABC sei der Winkel a und die Seite b gegeben. Gesucht ist die Seite a.
Ptolemaios ergänzt zunächst c und b auf 90° und zieht den Großkreis durch die erhaltenen Punkte B' und C'. Dieser ist der Ort aller Punkte der Sphäre, die von A den Abstand 90° haben, hat also A als Pol. Ist S der Schnittpunkt von a mit diesem Großkreis, so ist, da die Winkel bei B und bei B' rechte sind, dieser Punkt S der pol zu c, somit ist SB=SB'=90°. Ferner ist die Länge des Bogens von B'nachC' gegeben durch cx, wie man durch Projektion von A auf die Ebene des Großkreises B'C' sofort erkennt. Die Anwendung des Satzes von Menelaos auf das Dreieck AB'C' mit dem Schnittkreis BC ergibt:
crd 2B'S/crd 2B'C' = crd 2BS/crd 2BC * crd 2AC/crd 2AC'
also:
crd 180°/crd (alfa) = crd 180°/crd 2a * crd 2b/crd 180°

Im Laufe der weiteren Entwicklung der sphärischen Trigonometrie durch die Araber wird die schwerfällige und umständliche Anwendung des Satzes von Menelaos allmählich ersetzt durch einfachere und elegantere Methoden.

Wie ist die Länge der Sonne definiert?
Was bezeichnet die Deklination und die Schiefe der Ekliptik der Sonne?
Was bedeutet cx? Warum ist dadurch die Länge des Bogens von B' nach C' gegeben?
Wie sieht ein Großkreisdreieck aus?
Wie die Schnittfigur der Großkreise mit der Ebene durch die Ecken des Großkreisdreieckes aus?
Kannst du mir die Entstehung der Formel:
crd 2CE/crd 2CB = crd 2DE/crd 2DZ * crd 2AZ/crd 2AB
mit anderen Worten erklären?
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ari
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. August, 2000 - 12:23:   Beitrag drucken

Hi Sebastian, 'n Haufen Zeug.

Ekliptik: stell Dir die Himmelskugel vor wie die alten Griechen, also mit der Erde im Mittelpunkt -oder, wenn's Dir leichter fällt, mit der Sonne im Mittelpunkt, um die sich die Erde dreht. Die Verbindungslinie Erde-Sonne beschreibt einmal im Jahr eine Ellipse (Kepler), früher hielt man das für einen Kreis. Diese Ebene heißt Ekliptik (griechisch, bedeutet Finsternis, weil nur hier Sonnenfinsternisse -Planet zwischen Sonne und Erde- eintreten können). Gedanklich vergrößert man diese Ekliptik bis an den Rand der -abstrakten- Himmelskugel. Das ist ein Großkreis an der Himmelskugel, in derem Mittelpunkt die Erde steht (bei fast allen Griechen früher, bei uns -Nautik, Navigation- heute noch).

Schiefe der Ekliptik: die Erde bewegt sich zwar immer in dieser Ekliptikebene -logo- aber die Achse der Erde (Nordpol-Südpol) steht nicht senkrecht auf der Ekliptik. Die Äquatorebene der Erde ist also NICHT identisch mit der Ekliptikebene. Die Äquatorebene kann man sich ebenfalls vergrößert vorstellen, als Großkreis auf der Himmelskugel, wieder mit der Erde im Mittelpunkt. Beide Großkreise (Ekliptik, Äquator) sind also verschieden und müssen sich daher schneiden. Der Winkel zwischen beiden Ebenen ist die Schiefe der Ekliptik (nicht ganz 23,5°).

Anders: Der Himmelsäquator hat einen Nordpol (der ist von jedem Punkt des Äquators um 90° entfernt), ebenso hat die Ekliptik ihren Nordpol. Theoretisch ist die Schiefe der Ekliptik der Winkel zwischen diesen beiden Polen, gemessen am Kugelmittelpunkt (Erde).

Praktisch bestimmt man die Schiefe so: man mißt an einem Ort (etwa bei Dir) über ein Jahr den Sonnenstand über Horizont, und zwar immer genau um 12 Uhr wahre Ortszeit, wenn die Sonne am höchsten steht. Übers Jahr bekommt man dann einen Höchststand der Sonne (längster Tag), ebenso den Tiefststand (kürzester Tag). Die Hälfte der Winkeldifferenz ist die Schiefe der Ekliptik.

Deklination: das ist die momentane Höhe der Sonne, bezogen auf die Äquatorebene. Deklination = 0° bei der Frühlings- und Herbst-Tagundnachtgleiche, denn an diesen tagen steht die Sonne in der Äquatorebene. Die Deklination kann maximal gleich plus / minus Schiefe der Ekliptik sein (längster tag, kürzester Tag).

Länge der Sonne: vergleiche das mit der Länge auf der Erde. Man braucht einen Nullpunkt auf dem Erdäquator, von dem aus gezählt wird (=Längenkreis durch Greenwich). Auf der Himmelskugel haben wir so etwas nicht - dafür haben wir aber die beiden Großkreise Äquator und Ekliptik, die sich ja wie alle Großkreise zweimal schneiden (Tag- und Nachtgleichen). Der Nullpunkt der Längenbestimmung -egal ob auf dem Äquator oder der Ekliptik gerechnet wird- ist einer dieser beiden Schnittpunkte, und zwar der im Frühling. Der Punkt heißt Frühlingspunkt. Hier durchstößt die Ekliptikebene den Äquator von "unten nach oben" (um den 21. März). Von diesem "Nullpunkt" kann man jetzt die Länge sowohl auf dem Äquator als auch auf der Eklipik bestimmen. gemessen vom Frühlingspunkt aus ist

die Länge der Sonne auf dem Äquator = Rektaszension der Sonne,
die Länge der Sonne auf der Ekliptik = Länge der Sonne.

"Länge der Sonne" ohne weiteren Zusatz meint traditionell immer die Länge der Sonne auf der EKLIPTIK (beginnend beim Frühlingspunkt).

Zu crd(Winkel): crd ist ein Kürzel für corda, lat. Sehne. Das ist sozusagen der "griechische Sinus", genauer der Vorläufer unseres heutigen Sinus. Zeichne dazu einen Kreis mit Mittelpunkt M und irgenwo eine Sehne s im Kreis. verbinde beide Endpunkte der Sehne s mit dem Mittelpunkt M, was bei M einen Mittelpunktswinkel liefert (genannt A). crd(A) = Länge der Sehne s. Jetzt zeiche von M aus die Winkelhalbierende von A = Mittelsenkrechte von s und Du erkennst zwei rechtwinklige Dreiecke, die jeweils in M den Winkel A/2 haben und jedes Dreieck hat die Hälfte von crd(A) als Gegenkathete. Also

crd(A) = sin(A/2) + sin(A/2) = 2*sin(A/2)

Im Bogenmaß hast Du damit die Länge des Kreisbogens bei Mittelpunktswinkel A.

Wie sieht ein Großkreisdreieck aus? Mach's Dir einfach, nimm die Erde, dort zwei Längenkreise, die sich im Nordpol schneiden und den einzigen Breitenkreis, der auch Großkreis ist, nämlich den Erdäquator. Das ist ein Großkreisdreieck, die beiden sphärischen Winkel am Äquator sind jeweils 90° und zwei Seiten ebenfalls (die vom Pol zu den beiden Punkten auf dem Äquator).

Zu der Formel: Dreiecksbezeichnung ist klar (Eckpunkte A,B,C). Schreib doch bitte auf, welche Dreieckseíten durch die Gerade geschnitten werden und wie Du die Punkte benennst.

PS.: spannendes Thema, helfe gern weiter (bin erst am Wochenende / Montag wieder im Board). Du kannst auch Deine e-mail Adresse reinstellen und das mit den Graphiken / Bildern versenden kriegen wir wohl auch gebacken.

So, hechel, ... ciao.
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Sebastian
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 13:22:   Beitrag drucken

Hallo Ari,

mit großer Überraschung und Freude habe ich gestern deine Nachricht erhalten, die mir sehr weitergeholfen hat. Ich hätte nie geglaubt, dass ich so schnell und so ausführlich meine Probleme geklärt bekommen würde.
Ich habe soweit nun alle Begriffe verstanden. Es ist richtig dumm, dass ich ab 29.8 .00 in Urlaub gehe und erst wieder am 9.9.00 erreichbar bin.Meine E-mail Adresse lautet: Sebastian_Hirt@gmx.de .Schreibe mir doch bitte ein E-mail, dann kann ich dir den Beweis mit den dazugehörigen Bildern schicken. Ich bin noch am Anfang meiner Arbeit und würde mich freuen, wenn wir in Kontakt bleiben könnten für eventuelle Probleme auf die ich noch stoße. Wenn du mir deine E-mail Adresse nicht gegeben möchtest , versuche ich die für den Beweis wichtigen Abbildungen zu beschreiben oder du erklärst mir, wie ich die Abbildungen auf diese Seite bekomme.
Vielen Dank im voraus.
Ciao,
Sebastian
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ari
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 10:48:   Beitrag drucken

Hi Sebastian,
freut mich sehr, daß ich weiterhelfen konnte. Ich habe Dir eine e-mail geschickt - wenn sie ankommt, antwortest Du kurz?

Claro mach ich gern weiter mit. Die Mathe-Teile sollten wir versuchen, hier ins Brett zu stellen, vielleicht profitiert ja noch jemand davon ...

Bis dann und erst mal schönen Urlaub, ciao.
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Jennifer
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 16:10:   Beitrag drucken

Hi, Ich bin in der 10. Klasse und brauche den Beweis für : cos 30°= 1/2 Wurzel 3 und
tan 30° = 1/3 Wurzel 3.
Das müßte eigenllich ganz einfach sein, aber ich komm nicht drauf. Könnte mir jemand helfen?
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Georg (Georg)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. August, 2000 - 23:25:   Beitrag drucken

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit der Gegenkathete senkrecht, der Ankathete waagerecht, der Hypotenuse also schräg, dem rechten Winkel rechts und dem 30°-Winkel links. Spiegle es an der waagerechten Kathete. Jetzt hast du ein Dreieck mit lauter 60°-Winkeln, ein gleichseitiges also. Seine Seitenlänge a ist gleich der Hypotenuse. Die Ankathete ist seine Höhe.

Die Gegenkathete entspricht der halben Seitenlänge, also a/2 . Der Pythagoras liefert die Ankathete. Der Rest ist Rechnen. Langt das ?
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Jennifer
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 13:23:   Beitrag drucken

Ja, langt. Danke Dir, hast mich gerettet!
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Jennifer
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. August, 2000 - 14:34:   Beitrag drucken

Nein, langt nicht. wenn ich ausrechne b/c mit b=
Wurzel aus c zum Quadrat - a zum Quadrat erhalte ich zwar 0,86, was dem Wert von 1/2 Wurzel 3 entspricht, ich kann es aber nicht beweisen! Das muß ich indem ich für cos 30° also b/c nicht die Zahlen, sondern Variablen einsetze, um auf 1/2 Wurzel 3 zu kommen. setze ich laut Satz des Pythagoras für b, c zum Quadrat - c/2 zum Quadrat Wurzel ein,dann durch c und versuche zu kürzen, kommt nur Mist raus, nicht 1/2 Wurzel 3. Kannst Du mir das mal vorrechnen?
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Georg (Georg)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. August, 2000 - 00:07:   Beitrag drucken

Anscheinend fehlt dir folgendes :
b² = c² - a² = c² - (c/2)² = c² - c²/4 = c² ( 1 - 1/4 ) = (3/4)c²
b = ½Ö3c
b/c = ½Ö3
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Simon (Wallaby)
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Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 22:02:   Beitrag drucken

Meine Name ist Simon. Ich habe ein Problem. Könnte mir jemand den Beweis des Radius des beschreibenden Kreises zu einem Kreissegmentes geben. Gegeben sei eine Sehne und die dazu gehörende Höhe über dem Bogen.

Die Formel lautet: r=(h/s)+(s^2/8h).

Besten Dank schon im Voraus.

Simon
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anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 08:37:   Beitrag drucken

Hi Simon,
Öffne doch bei einer neuen Frage einen neuen Beitrag!
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aysem
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 14:58:   Beitrag drucken

hi ich besuche die 12. klasse und brauche dringend Hilfe!!!! ich muss eine Facharbeit über Trigonometrie schreiben, besser gesagt über die Funktionen sinus,cosinus ,deren Verhältnisse zu einander + über Differenzial- Intergrallrechnung.
ich komm aber nicht weiter und würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen würde....!!!!!!!!
byeeeeee
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Jan
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 21:48:   Beitrag drucken

Hallo Simon,
Braucht Du den Beweis noch.
Du hättest einen neuen Beitrag öffnen sollen, dann hätte ich die Frage früher entdeckt.

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