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florina
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 18:30: | 
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Bestimme eine ganz rationale Funktion f vierten Grades, deren Graph zur 2. Achse symmetrisch ist und für die gilt:
a) Der Graph von f geht durch o(0/0), 3 ist Nullstelle und an dieser Stelle hat die Tangente des Funktionsgraphen die Steigung (-48)
b) Der Graph erhält den Punkt o(0/0), er hat an der Stelle 1 eine Tangente mit der Steigung 2, eine Wendestelle ist (0.5Wurzel2).
c) W(1/3) ist Wendepunkt des Graphen, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung (-2)
d) E ist relativer Hochpunkt des Graphen von f, 1 ist die Wendestelle.
So das ist die Aufgabe. Ich wäre euch allen sehr dankbar (euch Mathegenies) wenn ich die Aufgabe bis Morgen so um 07:00Uhr kriegen könnte! Geht das?? Ich dachte noch bis vor kurzem (bis vor den Sommerferien) das ich das doch könnte, aber irgendwie.....Naja!
Also dann "viel Spaß" !!
Danke Danke! *gg*
*CU*FLO* |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 22:54: |
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Hi Florina!
Normalerweise arbeiten Mathematiker unter Zeitdruck gar nicht gern. Okay, okay, ich arbeite unter Zeitdruck gar nicht gern...
Aber in diesem Fall:
Eine ganzrationale Funktion 4.Grades sieht normalerweise so aus:
f(x)=Ax4+Bx3+Cx²+Dx+E
Dieser Graph soll zur 2.Achse symmetrisch sein. Ich habe die Achsen bis jetzt zwar noch nie durchnummeriert, aber es klingt logisch, die y-Achse als die 2.Achse zu bezeichnen.
Eine ganzrationale Funktion, die sym. zur y-Achse ist, hat nur gerade x-Potenzen. Das heißt der Summand mit x³ und der mit x1 fällt weg.
Somit bleibt noch:
f(x)=Ax4+Cx²+E
Wir haben also 3 Unbekannte A,C und E. Wir benötigen also im Normalfall 3 Gleichungen, um diese zu bestimmen. Da im Weiteren auch die Steigung und Wendepunkte benötigt werden, empfiehlt es sich, noch die Funktion 2mal abzuleiten:
f(x)=Ax4+Cx²+E
f'(x)=4Ax³+2Cx
f''(x)=12Ax²+2C
Aufgabe a) "Der Graph von f geht durch o(0/0), 3 ist Nullstelle und an dieser Stelle hat die Tangente des Funktionsgraphen die Steigung (-48)."
Dieser Text muss nun auseinander genommen werden:
(I) y=f(x) geht durch O(0|0).
=> f(0)=0
(II) 3 ist NST
=> f(3)=0
(III) An dieser Stelle (also bei x=3) ist die Steigung (-48).
=> f'(3)=-48
In diesen drei Gleichungen (I), (II) und (III) muss nun für f die Funktion, bzw. für f' die Ableitung eingesetzt werden und wir erhalten ein lineares Gleichungssystem, das doch zu lösen sein müsste:
(I) f(0)=0
=> A*04+C*0²+E = 0
=> E=0
erste Unbekannte beseitigt: E ist bekannt, nämlich 0.
(II) f(3)=0
=> A*34+C*3²+0 = 0
Hier können wir gleich durch 3² teilen:
A*3²+C=0
=> 9A+C=0 => C=-9A
(III) f'(3)=-48
=> 4A*3³+2C*3=-48
18A+C=-8
Für C können wir nun die Erkenntnis aus (II) einsetzen (C=-9A) und wir erhalten:
18A-9A=-8
9A=-8
A=-8/9
Nun haben wir A. Da C=-9A ist, erhalten wir:
C=-9(-8/9)=8
Das ergäbe also die Funktion:
f(x)=-8/9*x4+8x²
Aufgabe b) mache ich jetzt etwas schneller:
(I) "Der Graph erhält den Punkt o(0/0)"
=> f(0)=0 => E=0
(II) "er hat an der Stelle 1 eine Tangente mit der Steigung 2"
=> f'(1)=2
(III) eine Wendestelle ist (1/2*Wurzel2).
f''(1/2*Wurzel2)=0
Gleichung (II) wird zu: =4A+2C = 2 => C=1-2A
Und (III) wird zu: 12A(1/2*Wurzel2)²+2C=0 => 6A+2C=0 => 3A+C=0
=> 3A+1-2A=0 => A=-1
=> C=3
Aufgabe c)
(I) Graph geht durch W(1|3)
=> f(1)=3
(II) W ist Wendepunkt des Graphen
=> f''(1)=0
(III) "zugehörige Wendetangente hat die Steigung (-2)"
=> f'(1)=-2
[...]
Aufgabe d) kriege ich jetzt nicht hin. Entweder da fehlt eine Angabe, um die Funktion eindeutig zu identifizieren, oder ich bin zu müde, um diese Angabe zu finden.
In jedem Fall schlafe ich jetzt gleich ein.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 08:31: |
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Die Aufgabe scheint unrund. Mehrfach wird erzählt, daß f(0)=0 und f"(1)=1 ist; für f'(2) lesen wir einmal 2 (b), einmal -2 (c); "E" ist nicht erklärt (d); es gibt mehr Bedingungen als Unbekannte.
Empfehlung: Aufgabenstellung wiederholen, im Originalzustand/wörtlich. F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 12:50: |
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Hallo allerseits,
zu franz: Dies sind doch 4 verschiedene Aufgaben. Es sehe da nichts unrundes.
Zu Cosine: scheint richtig gelöst zu sein.
Aufgabe c) ergibt f(x)=x4/4-(3/2)x²+17/4
Zu florina: Aufgabe d) scheint einen Tippfehler zu enthalten. "E ist relativer Hochpunkt"??? |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 13:51: |
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"Bestimme eine(!) ganz rationale Funktion" usw. Auch wenn möglicherweise dabei an vier verschiedene Funktionen gedacht wurde, so würde eine Klarstellung durch den Fragenden meines Erachtens nicht schaden. F. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. August, 2000 - 16:26: |
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Hi franz!
Ich muss Fern zustimmen: Es ist meiner Meinung mehr als eindeutig, dass das 4 verschiedene Aufgaben sind. Diese Schreibweise wird in Schulbüchern andauernd verwendet:
z.B.:
"Finde die Summe dieser zwei Zahlen:
a) Neun und Drei
b) Sieben und Dreiundzanzig
c) Minus Tausendvierundzwanzig und Zwei"
d) Null und Null
oder
"Finde die Ableitung der folgenden Funktion:
a) f(x)=sinx
b) f(x)=1/x
c) f(x)=ax³+bx-pi/4
d) f(x)=1/(x²+1)"
Die Leute, die das geschrieben haben, waren einfach nur zu faul, den Teil, der für alle vier Aufgabenteile gleich ist, viermal hinzuschreiben.
Sie erwarten dann halt von den Schülern(oder innen), dass diese sich entweder die einleitende Zeile merken oder bei jeder neuen Aufgabe wieder nach oben schauen, um dann im Kopf die beiden Aufgabenteile (einleitende Zeile und aktuelle Teilaufgabe) zusammenzufügen, als ob es eine Aufgabe sei.
Zugegeben, das ist nicht ganz einfach, aber nach 13 Schuljahren hat man sich dann irgendwann dran gewöhnt...;-)
Aber dass das mit "E" nicht definiert ist, sehe ich auch so... Man könnte natürlich E an eine beliebige Stelle (a|f(a)) setzen und dann die Aufgabe rechnen mit dem Parameter a. Das ergäbe dann vermutlich die Schar aller Kurven, die die Bedingungen erfüllen. Allerdings werde ich das nicht rechnen, bevor ich nicht sicher weiß, dass das gefragt ist.
Außerdem ist 7:00 Uhr ja schon vorbei...
Ciao
Cosine |
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