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Beitrag |
    
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. August, 2000 - 00:42: | 
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Hi allerseits!
Auch wenn Zaph in Urlaub ist (wenn ich das richtig verstanden habe), trotzdem mal wieder ein (wie immer nicht dringendes) Problem von mir:
Und zwar bin ich so durch Ausprobieren auf folgenden Satz gekommen, von dem ich gern wüsste, ob der allgemeingültig ist oder nur ab und zu gilt oder gar nicht...
Wenn an -> +¥
und bn -> +¥,
dann gilt, dass
an/bn -> (an+1-an)/(bn+1-bn)
, sofern letzterer Grenzwert existiert.
oder kurz: L'Hospital-Regel, aber nicht mit Ableitungen, sondern mit Differenz-Folgen. Ich habe bis jetzt schon viele Fälle gefunden, in denen diese Regel gilt und keinen Fall, in dem sie nicht gilt, aber ich kann sie nicht beweisen. Ich hatte schon die Idee, das irgendwie auf die normaler L'Hospital-Regel für diff.bare Funktionen zurückzuführen und irgendwas mit dem Mittelwertsatz, um die Differenz wegzukriegen und stattdessen die Ableitung hineinzubekommen, aber irgendwann mittendrin komme
ich dann nicht mehr weiter...
Geht das irgendwie?
Aber wie gesagt: Es eilt nicht.
Ciao
Cosine
P.S.: Ob die Regel auch für an und bn gegen 0 gilt, habe ich noch nicht ausprobiert... |
Kai
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 19:06: |
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Ja, das gilt. Mit Limes kann man die Grundrechnungsarten ausführen, sofern alle Limes existieren
Kai |
Kai
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 19:10: |
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vermute, daß es mit "0/0" auch geht, habs aber auch nicht geprüft.
Kai |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 19:32: |
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tach,
gibt es ueberhaupt eine ableitung von einer reihe?
wenn ja, dann ist es doch mit dem mittelwertsatz von cauchy so, dass ksi element aus (a,b) so dass an/bn=(a(n+1)-a(n-1))/(b(n+1)-b(n-1)) ist...?
kann man die ableitung einer fkt. auf die ableitung einer reihe uebertragen? dafuer habe ich zu wenig ahnung von reihen...
timo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. August, 2000 - 22:00: |
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Danke für die Resonanz.
Hi Kai!
Mit Deinem Kommentar "Mit Limes kann man die Grundrechnungsarten ausführen, sofern alle Limes existieren" kann ich in diesem Zusammenhang leider noch nicht viel anfangen.
Ich weiß, dass man das kann, aber in diesem Fall existieren doch die Limes von {an} und {bn} eben nicht, weil diese ja gegen +unendlich divergieren, oder wie hast Du das gemeint?
Hi Timo!
Wenn Du Reihe sagst, meinst Du vermutlich eine Folge und eine Folge ist per Definition eine Funktion IN -> IR, d.h. sie ist nur für natürliche Zahlen definiert. Deshalb hat eine Folge wohl auch keine Ableitung.
Es müsste allerdings immer möglich sein, eine diff.bare Funktion zu finden, die so gewählt ist, dass sie an jeder natürlichen Zahl den richtigen Wert annimmt.
Über die Verwendung von Cauchy's Mittelwertsatz habe ich auch schon mal nachgedacht, indem ich zuerst die Folge zu einer diff.bare Kurve ergänze und dann dort den Mittelwertsatz irgendwie anwende, sodass man irgendein x zwischen n und n+1 bekommt, aber irgendwo hängt es bis jetzt noch...
Trotzdem schonmal danke für Eure Antworten! Vielleicht habt Ihr (oder jemand anders) ja noch mehr Ideen.
Ciao
Cosine |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 19:01: |
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Dein Satz stimmt nicht.
Ich habe ihn mit an=n hoch 2 uns bn=n hoch 3 ausprobiert und es kam nicht das richtige raus. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 02:59: |
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Anonym,da mußt Du dich verrechnet haben.
an/bn=1/n ->0
(an+1-an)/(bn+1-bn)=(2n+1)/(3n2+3n+41)->0 |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 23:09: |
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Hi Ingo, Hi Anonym!
Ich bin Deiner Meinung, Ingo: Anonym muss sich verrechnet haben.
Nebenbei: Wie schon oben gesagt: Es eilt nicht, aber hat nicht irgendjemand eine Idee, wie man diese Regel da oben beweisen kann?
Ingo, immerhin hast Du ja schon ihre Gültigkeit verteidigt...
Es ginge mir ja nur um eine grobe Idee... Vielleicht hilft mir das ja schon weiter...
In diesem Sinne,
Ciao
Cosine |
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