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Beitrag |
    
Mimo Stein (Mimo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 10:20: | 
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Hi
wir haben erst eine Stunde über die "vollständige Induktion" gesprochen und ich habe mal wieder nichts kapiert und ich habe noch eine Strafarbeit aufbekommen. Da ich keine Ahnung habe, brauche ich dringend Hilfe! Da wir das Thema erst eine Stunde haben, muss in meiner Strafarbeit nur kurz die vollständige Induktion erklärt werden ( ca. eine Seite). Bitte helfe mir!!
Danke schon mal im Vorraus! |
Bodo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. August, 2000 - 19:25: |
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Hi Mimo,
schau dazu am besten mal ins Online-Mathebuch.
Dann findest Du im Archiv eine Menge (Erklärungen, Beispiele):
Archiv: "Vollständige Induktion"
Wenn dann noch Fragen offen sind, melde Dich wieder.
Grüße an den Lehrer (oder Lehrerin)!
Bodo |
Mimo Stein (Mimo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 14:08: |
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Hi
danke!
allerdings muss ich schon in der nächsten Woche die vollständige Induktion verstanden haben. Und bis jetzt habe ich noch so gut wie nichts verstanden. Kann mir vielleicht einer mal ein typisches Beispiel für die vollständige Induktion zeigen, vielleicht verstehe ich es dann besser.
Tschau |
Flo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 22:04: |
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Schau hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/4579.html
oder im Archiv per Suchfunktion
oder in Klassen 11-13 / Beweisführung / Vollständige Induktion (eben der diesem Beitrag übergeordneten Rubrik). |
Martin (Aniol)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 12:06: |
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Beweis durch vollständige Indiktion
Als Carl Friedrich Gauss (1777-1855) die Grundschule besuchte, stellte der Lehrer
die Aufgabe, die Summe der Zahlen von 1 bis 100 zu berechnen. Die erwartete
Ruhepause war schnell dahin, als sich Carl Friedrich nach kurzem Überlegen mit
dem Ergebnis 5050
meldete und erklärte, wie er gerechnet hat. Er hat unter die Summe dieselbe
Summe in der umgekehrten
Reihenfolge angeschrieben:
S100= 1 + 2 +3 +4 +5 + ... + 99 + 100
S100= 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
Er erkannte, dass die Addition von zwei übereinander stehende Gliedern immer die
Summe 101 hat und
das dieser Summenwert genau 100-mal auftritt.
2 * S100 = 100 * 101
S100 = 100 * 101 / 2 = 50 * 101 = 5050
Aus dem Aufbau der Formel S100 = 100 * ( 100 + 1 ) / 2 könnte man nun
vermuten, dass allgemein für beliebige natüliche Zahlen n gilt :
1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n ( n + 1 ) / 2
Tatsächlich liefert die Einsetzung immer richtige Ergebnisse:
n = 1 linke Seite: 1 rechte Seite: 1 * 2 /
2 = 1
n = 2 1 + 2 = 3 2 * 3 / 2 = 3
n = 3 1 + 2 + 3 = 6 3 * 4 / 2 = 6
n = 4 1 + 2 + 3 + 4 = 10 4 * 5 / 2 = 10
Auch wenn Sie Ihr Leben lang die Richtigkeit der obigen Gleichnung für immer
größere natürliche Zahlen
Zeigen, ist damit nicht bewiesen, dass sie für alle natürliche Zahlen gilt bzw.
Die Erfüllungsmenge N hat.
Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano ( 1858 – 1889 ) hat 1889 das
folgende berühmte Axiom-
System für die natürliche Zahlen veröffentlich:
P1: 1 ist eine natürliche Zahl.
P2: jede natürlich Zahl hat genau einen Nachfolger.
P3: Der Nachfolger ist nie gleich 1
P4: Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
P5: Enthält eine Menge M von natürlichen Zahlen die 1 und liegt mit jeder
natürlichen Zahlen auch
Deren Nachfolger in M, dann ist M = N.
Das fünfte Axiom von Peano zeigt einen Weg auf, wie wir nachweisen können, dass
eine Aussageform
A(n) für alle natürliche zahlen eine wahre Aussage liefert:
1. Die Aussage A(1) muss wahr sein, d.h , n=1 liegt in der Erfüllungsmenge.
Damit ist ein Anfang gemacht, den wir Verankerung nennen.
2. Die natürliche Zahlen lassen sich der Reihe nach durch fortgesetzte
Addition der Zahl 1 gewinnen.
Eine Aussageform A ( n ), die für alle natürliche Zahlen gelten soll, muss
daher schrittweise von einer Zahl n zur nächsten Zahl n + 1 als
richtigt nachgewiesen werden! Die Wahrheit der Aussage verebt sich
Sozusagen vo Zahl zu Zahl.
Wir haben damit ein Beweisverfahren gefunden, das als vollständige Induktion
bezeichnet wird und immer
Nach folgenden Muster abläuft:
Beweis durch vollständige Induktion
Die Aussageform A ( n ) ist wahr für alle natürliche Zahlen, wenn
gezeigt werden kann:
1. Verankerung: Die Aussage A ( 1 ) ist wahr.
2. Vererbung: Die Gültigkeit von A ( n ) zieht die Gültigkeit von A ( n + 1 )
naxh sich.
Bemerkung:
Die Verankerung musst nicht immer bei n = 1 liegen!
Zum Beispiel liegt für „ A ( n ) ist wahr für n>2 „ die Verankerung bei n = 3
Wir kehren zurück zum Ausgangspunkt und lösen es im ersten Beispiel:
Behauptung: A ( n ) = 1 + 2 + 3 ... + n = n ( n + 1 )/ 2 ist gültig für n aus N.
Verankerung: A ( 1 ) ist wahr, denn es gilt: 1 = 1 (1 +1 )/ 2
1 = 1
Vererbung :
A ( n + 1): 1 + 2 + 3 + ... + n + ( n + 1) = ( n + 1)(n + 2 )/
2 soll als wahr nachgewiesen
werden, wenn A ( n ) wahr ist!
Da A ( n): 1 + 2 + 3 +... + n = n ( n + 1)/ 2 wahr ist , können wir damit die
linke Seite der Gleichnung
A ( n + 1 ) umformen:
1 + 2 + 3 ... + n + ( n + 1) = n ( n + 1 ) / 2 + ( n + 1) = n ( n +1 ) / 2 + 2
( n +1 ) / 2 =
( n + 1) ( n + 2 ) / 2
Es muss hier unbedingt klargestellt werden, dass wie bei obiger Umformung die
rechte Seite
der Gleichnung A ( n + 1 ) nicht wewenden haben, sondern gezeigt haben, dass
die linke Seite
von A ( n + 1 ) mit Hilfe der Aussageform A ( n ) in die rechte Seite der
Gleichung A ( n + 1 ) umgeformt
werden kann. Damit ist aber nachgewiesen, dass die Gültigkeit von A ( n) die
Gültigkeit von A ( n + 1)
nach sich zieht.
Quelle : Mentor Abitur Hilfe |
Fire
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 11:52: |
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Wo von redest du Aniol ich habe keinen Plan von dem was da steht. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. August, 2000 - 23:17: |
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Wievielte Klasse bist Du Fire?
Sandra |
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