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olli
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 19:44: | 
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Hallo
hier sind 2 kleine Aufgaben
Die erste :
Bestimme eine ganzrationalefunktion 4. Grades , sodass für den Graphen der Funktion gilt :
S (0/3) ist Sattelpunkt , im Punkt P (3/0) liegt eine horizontale Tangente vor.
Die zweite:
Bestimme eine ganzrationale Funktion f 4.Grades , deren Graph zur 2.Achse symetrisch ist und für die gilt:
W (1/3) ist Wendepunkt des Graphen , die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -2.
Vielen Dank für Eure Hilfe!!
Olli |
Steffi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 20:05: |
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Hallo Olli,
zunächst die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Fkt. 4. Grades nebst ihrer 1. bis 3. Ableitungen:
f(x) = ax4+bx³+cx²+dx+e
f'(x) = 4ax³+3bx²+2cx+d
f''(x) = 12ax²+6bx+2c
f'''(x) = 24ax+6b
1. Bedingung: Sattelpunkt bei S (0/3)
-> f'(0) = 0 und f''(0) = 0
also ist
I. 0 = d und
II. 0 = c
2. Bedingung: S(0/3) ist Punkt der gesuchten Funktion
-> f(0) = 3
III. 3 = e
3. Bedingung: P(3/0) ist Punkt der gesuchten Funktion
-> f(3) = 0
IV. 0 = 81a+27b+3 (d und c weglassen, weil sie ja gleich Null sind)
4. Bedingung: in P(3/0) waagrechte Tangente, d.h., dass es sich um einen Extremwert handelt
-> f'(3) = 0
V. 0 = 108a+27b
Die Gleichungen IV. und V. kann man voneinander subtrahieren:
IV. 0 = 81a+27b+3 |
V. 0 = 108a+27b |-
----------------------
0 = -27a + 3
a = 1/9
IV. 0 = 9+27b+3
-12 = 27b
b = -4/9
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = (1/9)x4-4/9x³+3 |
Steffi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 20:20: |
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Und hier ist Nr. 2:
1. Bedingung: Da der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist, enthält die Funktion nur gerade Exponenten. Das Aufschreiben der allgemeinen Fkt. 4. Grades und ihrer Ableitungen vereinfacht sich deshalb etwas:
f(x) = ax4+bx²+c
f'(x) = 4ax³+2bx
f''(x) = 12ax²+2b
f'''(x)= 24ax
2. Bedingung: W(1/3) ist Punkt der Funktion
-> f(1) = 3
I. 3 = a+b+c
3. Bedingung: W(1/3) ist Wendepunkt
-> f''(1) = 0
II. 0 = 12a+2b
4. Bedingung: Die Tangente in W(1/3) (Wendetangente) hat die Steigung m=-2
-> f'(1) = -2
III. -2 = 4a+2b
Subtrahieren wir III. von II. so erhalten wir
II.-III. 2 = 8a
a = 1/4
II. 0 = 12*1/4+2b
0 = 3+2b
b = -3/2
I. 3 = 1/4 - 3/2 + c
3 = -5/4 + c
c = 17/4
Die gesuchte Funktion lautet also
f(x) = (1/4)x4-(3/2)x²+17/4
Wenn dir irgendwelche Schritte noch unklar sind (ich habe nicht soviel erklärt), dann frag einfach nach.
Steffi |
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