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wir 3
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 17:50: | 
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Ich hoffe mir kann jemand helfen ! Ich brauche die Nullstellen., Extremstellen, Wendestellen und die Wendetangente folgender Funktion:
f(x)=x³+x²-9x-9
Danke im voraus |
Julia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:03: |
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Hi Ihr3!
Also, zunaechst bestimmst Du die Ableitungen Deiner Funktion:
f(x) = x^3 + x^2 - 9x -9
f'(x) = 3x^2 + 2x - 9
f"(x) = 6x + 2
Die erste Nullstelle eines Polynoms dritten Grades
muss man in der Schule meistens raten und dafuer kommen in der Regel Zahlen zwischen -3 und 3 in Frage. Hier ist -1 eine Nullstelle, die man ziemlich schnell sieht. Dann machst Du Polynomdivision (die Nullstelle ist -1, also musst Du durch (x-(-1)) = (x+1) teilen):
x^3 + x^2 - 9x - 9 : (x+1) = x^2 - 9
Di beiden uebrigen Nullstellen sieht man dann sofort, da x^2 - 9 = (x+3)*(x-3) ist (binomische Formel.
Also:
Nullstellen : -1,3,-3
Die einzigen moeglichen Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Die berechnest Du mit der p-q-Formel: -1/3 + 2/3*Wurzel(7) und -1/3 - 2/3*Wurzel(7).
Um zu testen, ob es sich wirklich um Extremstellen handelt, musst Du diese Werte in die zweite Ableitung einsetzen: Ist diese an der betreffenden Stelle positiv, so ist es ein Minimum, ist sie negativ, ein Maximum, und ist sie Null, dann ist es ein Sattelpunkt und kein Extremum.
Wir finden: f'(-1/3 + 2/3*Wurzel(7)) = 4*Wurzel(7) und f'(-1/3-2/3*Wurzel(7) = -4*Wurzel(7).
Die erste Extremstelle ist also ein Minimum, die zweite ein Maximum:
Extremstellen: -1/3+2/3*Wurzel(7) (Minimum)
-1/3-2/3*Wurzel(7) (Maximum)
Nun zu den Wendestellen: Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung. Hier ist das nur eine : -1/3.
Wendestelle: -1/3
Um die Tangente in der Wendestelle zu finden (also die Wendetangente), setzt man eine allgemeine Geradengleichung y = m*x + b an.
m ist die Steigung der Geraden und die muss gerade gleich der Steigung der Funktion an dieser Stelle sein (das bedeutet das Wort Tangente). Die Steigung der Funktion f an der Stelle -1/3 ist der Wert f'(-1/3) = -28/3.
Jetzt haben wir m, wie finden wir b? Ganz einfach, wir kennen ja einen Punkt auf der Tangenten, naemlich den, wo sie die Funktion beruehrt. Also muss fuer x = -1/3 der Wert y = f(-1/3) = -160/27 herauskommen.
Wir loesen die Gleichung -160/27 = -28/3*(-1/3) + b nach b auf und erhalten: b = -244/27.
Die Wendetangente lautet also:
Wendetangente: y = -28/3*x - 244/27
Ich uebernehme Garantie fuer die Werte (insbesondere die Wendetangente), denn ich verrechne mich gern. Aber der Loesungsweg sollte einigermassen verstaendlich sein und Du kannst die einzelnen Schritte nachrechnen.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Julia |
wir 3
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:54: |
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Hallo Julia ! VIELEN DANK FUER DIE SCHNELLE ANTWORT ! |
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