| Autor |
Beitrag |
    
Susanne (Sue)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 16:18: | 
|
Brauche dringend eine Funktionsuntersuchung
der Funktion f(x)=1/64*x^4+1/24*x^3-x
Definitionsverhalten?
Grenzverhalten?
Schnittpunkte mit den Achsen?
lokale Extrema?
Symetrieeigenschaften?
Wendepunkte?
wertebereiche?
schon wieder was falsches eingegeben???
Kapier das net!!
danke! Susanne |
Schorsch der Bayer
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:52: |
|
Hallo,
Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen.
Für x gegen + oder - Unendlich gehen die Funktionswerte jedesmal gegen + Unendlich, da die höchste Potenz von x (1/64xhoch4) in diesem Term "den Ton angibt".
Die Schnittpunkte mit den Achsen ist so ein Problem:
mit der y-Achse gibt es den Schnittpunkt (0/0), also den Ursprung des Koordinatensystems (f(0) = 0). Dies ist also gleichzeitig auch ein Schnittpunkt mit der x-Achse. Es gibt aber noch einen weiteren Schnittpunkt mit der x-Achse:
1/64xhoch4 + 1/24xhoch3 - x = 0
x ( 1/64xhoch3 + 1/24xhoch2 - 1) = 0
Der in Klammern stehende Ausdruck kann auch Null werden, allerdings kann ich die Lösung für diese Gleichung dritten Grades nur als Näherungswert (berechnet durch den Computer) angeben: x ist ungefähr 3,2804...
Für das lokale Extrema braucht man die erste Ableitung:
f´(x) = 1/16x³ +1/8x² -1
Durch "probieren" kann man die Lösung x = 2 herausfinden.
Durch das Verhalten für x gegen Unendlich folgt sofort, dass hier ein Minimum vorliegen muss!
Symmetrieeigenschaften sind keine erkennbar!
Für die Wendepunkte braucht man die zweite Ableitung:
f´´(x) = 3/16x² + 1/4x
Setzt man f´´(x) = 0, so kann man leicht die beiden Lösungen x = 0 und x = -4/3 erhalten. Z.B. über die dritte Ableitung erhält man hier die Wendepunkte der Funktion.
Aus dem Verhalten für x gegen Unendlich und der Existenz des Minimums bei x = 2 ergibt sich die Wertemenge W = [f(2); Unendlich[ oder konkret W = [-17/12; Unendlich[
Schöne Grüße
Schorsch der Bayer |
Charlotte
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:56: |
|
Hi Susanne!
Ich weiss nicht genau, was mit Definitionsverhalten gemeint ist. Diese Funktion ist ja schliesslich auf ganz |R definiert.
Grenzverhalten: Wenn x gross ist, dann waechst der erste Term so schnell, dass die beiden anderen vernachlaessigt werden koennen. Da der erste Term eine gerade Potenz von x ist (immer positiv!), ist der Grenzwert fuer x -> +/- unendlich unendlich.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen:
Eine offensichtliche Nullstelle ist x=0 (weil die Funktion keinen konstanten Term (ohne x) hat). Das Ding hat noch eine Nullstelle, aber die ist haesslich (oder ich habe mich verrechnet). Sag mal, bist Du sicher, dass Du die richtige Funktion hast??
Naja, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist einfach der Wert fuer x=0, also Null.
Moegliche Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Diese lautet:
f'(x)=1/16*x^3 + 1/8* x^2 - 1
und hat eine Nullstelle bei zwei (normalerweise muss man in der Schule bei Polynomen dritten Grades eine Nullstelle raten). Dann machen wir Polynomdivision:
1/16*x^3 + 1/8* x^2 - 1 : x-2= 1/16*x^2 + 1/4*x + 1/2
Diese Funktion hat keine Nullstellen mehr (bei der p-q-Formel taucht unter der Wurzel -4 auf), also gibt es nur die eine moegliche Extremstelle. Um zu testen, ob es auch wirklich eine ist, muss man sie in die zweite Ableitung
f"(x) = 3/16*x^2 +1/4*x
einsetzen, das ergibt den Wert 5/4. Da der ungleich Null ist, haben wir tatsaechlich eine Extremstelle bei zwei und ausserdem ist es ein Minimum, weil 5/4>0.
Extremstelle ; 2 (Minimum)
Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Hier sind diese Nullstellen 0 und -4/3. Bei beiden findet ein Vorzeichenwechsel statt. Also
Wendepunkte 0, -4/3
Wertebereich: Der groesste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist unendlich (das hatten wir ja schon gesehen). Ausserdem wird dieser Wert an beiden "Enden" der Zahlengerade angenommen. Dazwischen liegt nur ein lokales Minimum, das dann aber auch automatisch globales Minimum, also absoluter Tiefpunkt ist. Dieser Wert ist f(2) = -17/12. Also:
Wertebereich: [-17/12, unendlich[
Zur Symmetrie:
Wir testen, ob f(x) = f(-x) ist, dann waere die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Ist sie aber nicht. f(x) = -f(-x) waere die Bedingung fuer Punktsymmetrie zum ursprung, auch die ist nicht erfuellt. Das waren die "Standardtests". Man kann sich auch folgendes ueberlegen: Da bei x-2 das einzige Minimum vorliegt, kann die Funktion hoechstens achsensymmetrisch zur Achse x=2 sein. Dann muesste f(2+x) = f(2-x) gelten, das gilt aber nicht, also liegt keine Symmetrie vor.
Ich hoffe, ich habe mich jetzt in der Eile nirgendwo vertan. Das mit der zweiten Nullstelle kommt mir schon komisch vor.
Charlotte |
|
