| Autor |
Beitrag |
    
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 21:44: | 
|
hallo leute, ich habe (mal wieder) eine frage:
kann mir jemand die ableitung (dy/dx) von x²y+y³=2 geben und vor allem erklaeren?
wann und wo bilde ich y', wie komme ich von y auf y' wie muss y³ abgeleitet werden?
danke im vorraus, timo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 22:42: |
|
Hi Timo!
Beim partiellen Ableiten gehe am Besten einfach nach Schema vor:
x²y+y³=2
Nun leitest Du beide Seiten der Gleichung nach x ab. [...]' soll jetzt mal für die Ableitung von ... nach x stehen .
Dann erhälst Du ganz langsam erstmal die Gleichung
[x²y+y³]'=[2]'
Auf der rechten Seite hast Du die Ableitung von 2. 2 ist aber definitiv nicht abhängig von x, also konstant. Die Ableitung einer Konstanten ist 0, also:
[x²y+y³]'=0
Auf der linken Seite hast Du eine Summe. Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitung, also erhält man (Linearität der Differentiation):
[x²y]'+[y³]'=0
Die linke Klammer ist nun ein Produkt. Wir benutzen also die Produktregel [uv]'=u'v+uv'.
u ist hier x², v ist hier y
Also ergibt sich nach Produktregel:
[x²]'y+x²[y]'+[y³]'=0
Die Ableitung von x² ist 2x. Die Ableitung von y ist einfach y'
Also ergibt sich:
2xy+x²y'+[y³]'=0
Die Ableitung von y³ erhalten wir durch die Kettenregel, da wir hier eine äußere Funktion in Abhängigkeit von y haben und y selbst noch von x abhängt.
Das heißt wir leiten erstmal y³ nach y ab und multiplizieren das mit der Ableitung von y (y')
Das kann man auch schreiben als:
[y³]'=d[y³]/dx =(erweitern mit dy) = d[y³]/dy * dy/dx = 3y²*y'
Die Ausgangsgleichung wird nun also zu:
2xy+x²y'+3y²*y'=0
Das wird nun einfach nach y' aufgelöst, indem man zuerst 2xy auf die andere Seite bringt, y' ausklammert und anschließend durch den Faktor y' teilt:
y'=-2xy/(x²+3y²)
1.Anmerkung: Normalerweise würde bei dieser Aufgabe kein Mensch diese kleinen Schritte aufschreiben, sondern diese im Kopf rechnen, aber meiner Meinung nach ist es gut, sich diese ganzen Schritte deutlich zu machen, damit man genau weiß, was man im Kopf macht und welche Regeln dahinter stecken.
2.Anmerkung: Es ist möglich, dass ich einige kleinen Fehler gemacht habe, weil ich sehr müde bin und eigentlich schon seit einer Stunde im Bett sein wollte, aber ich denke, das Prinzip sollte klar sein,
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Gute Nacht,
Cosine |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 00:05: |
|
guten morgen!
vielen vielen dank fuer deine muehe!
besonders interessant war fuer mich die ableitung von y³! ich wusste nicht, wie man dies ableitet (innere und aeussere...).
ich hoffe du bist meinerwegen nicht allzu muede!
nochmals danke,
timo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 07:01: |
|
Freut mich, wenn ich Dir helfen konnte
Ciao
Cosine |
|
