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nothinghill
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 16:14: | 
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also ich habe eine aufgabe bekommen bei der ich dies beweisen soll! geo. reihe
ich soll von a*[q^(n+1)-1]/(q-1) von dieser zeile soll ich zu a*q^n kommen!! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 22:41: |
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Hallo nothinghill,
Ich muss zugeben, dass ich von dieser Aufgabe etwas verwirrt bin. Bitte prüfe doch nochmal die Aufgabenstellung, ich bin sicher da ist bei Dir ein Tippfehler drin, denn so wie die Formel da steht ergibt sich kein logischer Schluss auf a*qn!
Ich bin mir sicher, das heißt nicht -1 im Zähler sondern -qn, also
a*[(qn+1-qn)/(q-1)]
Zum Beweis: Für qn+1 schreiben wir
qn*q und es ergibt sich ein Term, in dessen Zähler wir qn ausklammern können:
a*qn[(q-1)/(q-1)] = a*qn
was zu beweisen war.
Hoffentlich stimmt meine Abänderung so. Bitte geb doch mal Bescheid.
Gruß
 Oliver |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 23:41: |
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Hi Oliverk!
Ich glaube nicht, dass es darum ging, die geometrische Folge a*q^n so umzuformen, sondern die Summe der aller Folgenglieder von 0 bis n zu bestimmen. (In der Aufgabenstellung tauchte irgendwo das Wort "Reihe" auf...
Also: mal wieder den Gauß-Beweis, den der Mathematiker schon im Alter von 10Jahren, blablabla...
S = summe aller Terme der geometrischen Folge a*q^n von 0 bis n
S = a*q^0+a*q^2+a*q^3+a*q^4 + ... + a*q^n
Beide Seiten mal (-q) nehmen:
-qS = -a*q^1-a*q^3-a*q^4-a*q^5 - ... - a*q^(n+1)
Die letzten beiden Gleichungen addieren:
S-qS = a*q^0-a*q^(n+1)
Auf der linken Seite S, auf der rechten Seite a ausklammern:
S(1-q) = a(1-q^(n+1))
=> S = a(1-q^(n+1))/(1-q)
Wenn man nun den Bruch in der oben dargestellten Form haben will, kann man ihn auch noch mit (-1) erweitern und erhält:
=> S = a(a*q^(n+1)-1)/(q-1)
q.e.d.
Gute Nacht
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 12:06: |
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Ooops...
Das mit der geometrischen Reihe, das war natürlich nicht der Gauß im Alter von 10 Jahren.
Die Gauß-Geschichte war selbstverständlich die Summe der ersten n natürlichen Zahlen.(=n(n+1)/2)
Hab ich irgendwie verwechselt, weil die Beweisidee ähnlich ist und es schon so spät war...
Sorry
Ciao
Cosine |
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