| Autor |
Beitrag |
    
Christian Jäger (Mulder)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 16:28: | 
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Woher hat die Wurzelfunktion ihren Namen?
Was ist der maximale Definitions- und Wertebereich bei Wurzelfunktionen?
Was sind die Eigenschaften und Besonderheiten von Wurzelfunktionen? |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 17:18: |
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Hallo christian,
Woher die Wurzelfunktion ihren Namen hat weis ich leider auch nicht.
zu den Anderen Fragen:
Maximaler Diffinitionsbereich: D[0;+¥[
Erklärung:
Da die wurzeln nur für positive Radikanten diffiniert sind,ist der Diffinitionsbereich auch positiv.
Maximaler Wertebereich: W[0;+¥[
Erklärung:
Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist auch eine positive Zahl, daher ist der wertebereich nur Positiv.
b{BesonderheitenL:}
-Alle Funktionsgrafen gehen durch die Punkte P(0;0) und Q(1;1)
-Alle Funktionsgrafen haben nur eine Nulstelle: x0=0
=========================================
Ciao
Niels |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 17:19: |
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Hallo christian,
Woher die Wurzelfunktion ihren Namen hat weis ich leider auch nicht.
zu den Anderen Fragen:
Maximaler Diffinitionsbereich: D[0;+¥[
Erklärung:
Da die wurzeln nur für positive Radikanten diffiniert sind,ist der Diffinitionsbereich auch positiv.
Maximaler Wertebereich: W[0;+¥[
Erklärung:
Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist auch eine positive Zahl, daher ist der wertebereich nur Positiv.
BesonderheitenL:
-Alle Funktionsgrafen gehen durch die Punkte P(0;0) und Q(1;1)
-Alle Funktionsgrafen haben nur eine Nulstelle: x0=0
=========================================
Ciao
Niels |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 17:21: |
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Hallo Christian,
Ich habe nur ein kleinen formatierungsfehler behoben...
Gruß N. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 18:19: |
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Hi Niels,
Man bezeichnet (zumindest in Deutschland) als positive Zahlen alle Zahlen, die größer als Null sind.
Der Wertebereich einer Wurzelfunktion umfasst also nicht nur die positiven Zahlen sondern auch die Zahl Null.
Die Wurzelfunktion ist ebenfalls für positive Radikanden und Null definiert.
Man nennt positive Zahlen plus die Null auch :nichtnegative Zahlen
PS.: Deine angegebenen Intervalle sind richtig, nur im Text sagst du etwas anderes.
Gruß, Fern |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 19:07: |
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Hallo Fern,
-Meine güte bist du pingelig-
Wenn eine Zahl nicht negativ ist; Dann ist sie doch positiv oder?
Jedenfals habe ich von einer "Neutralen Zahl" Null noch nie etwas gehört. Obwohl man sich streiten kan ob nun Null Positiv oder Negativ ist, ist umstritten, in manchen Büchern steht auch ±0.Ob nun null als nichts positiv oder negativ ist, ust (für mich jedenfals) pip egal. Nichts ist Nichts!!
aber, wenn du formhalber meinst, es müßte so lauten- Ok akzeptiere ich.
Übrigens Fern; Wenn 01/n als 0 diffiniert ist, dann müßte doch-rein teoretisch- auch 0n=0 diffiniert sein oder? wäre es dann nicht schwachsinnig 00 als 1 zu diffinieren?
Gruß N. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 20:59: |
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Hi Niels nochmal,
Du hast es richtig formuliert:
NICHTS IST NICHTS.
Also kann es auch nichts Positives sein!
==============================
Es gilt der Satz:
Es gibt keine kleinste positive Zahl!
Ich sehe aber nicht, was dies mit 00 zu tun hat.
Im Allgemeinen wird 00=1 angenommen.
Gruß,Fern |
Steffi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. August, 2000 - 23:34: |
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Hallo Christian und Niels,
heißt die Wurzelfunktion nicht einfach so, weil sie eben die Variable in der Wurzel enthält? ;-)
Kleine Anmerkung zu Niels: wenn man aus einer positiven Zahl x die Wurzel zieht, dann erhält man als Ergebnis sowohl +Wurzel(x) als auch -Wurzel(x).
Bei der WurzelFUNKTION dagegen muss klar definiert sein, ob es sich um f(x) = +Wurzel(x) oder f(x) = -Wurzel(x) handelt. Würde man jeweils beide Werte in die Funktion einbeziehen, dann wäre es keine Funktion mehr, sondern eine Relation.
Steffi |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 07:15: |
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Hallo Steffi,
Wenn man aus einer positiven Zahl die Wurzel zieht, so erhält man als Ergebnis eine positive Zahl.
Wurzel(4) = 2
===============
und niemals: -2 |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 08:47: |
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Hallo Fern,
zu Fern:
entschuldige, das ich so aufbrausend war,-Ich glaube ich mache jetzt erstmal Urlaub-.
das mit 00b war nur so eine Frage...
Ich hatte letztens ein streitgespräch darüber mit unsern guten alten Freund Zaph.
Bis Dann!!
Gruß N. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 08:55: |
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Hallo Christian,
Einige Eigenschaften der Wurzelfunktion:
Ö(0) = 0
============
(Öa)² = a......für alle a aus IR+
IR+ bezeichnet alle reellen Zahlen ³ 0
============
Öx² = |x|.......für alle x aus IR
============
Ö(a*b) = Öa*Öb.....für alle a,b aus IR+
============
Öx = Öy « x = y......für alle x,y aus IR+
============
Öx £ Öy « x £ y....für alle x,y aus IR+
============
Woher der Name Wurzel stammt, weiß ich ebenfalls nicht.
Das Wurzelzeichen Ö wurde 1526 durch Rudolff Christophorus eingeführt.
Heron von Alexandrien (1. Jhdt.) hat den folgenden Algorithmus gefunden:
Gesucht sei Öa und x0 sei ein bekannter Näherungswert.
Dann ist x1 = ½(x0 + a/x0) ein besserer Näherungswert. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 09:01: |
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Hallo Niels,
Ich wünsche dir einen schönen, erholsamen Urlaub!
Fern |
Mulder (Mulder)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 11:27: |
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Danke für eure Hilfe. Ich habe aber trotzdem noch einige Fragen:
Was genau ist ein Intervall?
Was bedeutet zum Beispiel: [2;8[ oder ]3;7[ ? |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 19:21: |
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Hallo Mulder,
Ein Intervall ist ganz einfach ein Ausschnitt der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden.
Es gibt offene und abgeschlossene Intervalle.
Abgeschlossene Intervalle:
Man schreibt: [a;b]
Die Zahlen a und b heißen die Grenzen (oder besser Randpunkte) des Intervalls.
Genauere Definition: Das abgeschlossene Intervall [a;b] ist die Menge aller reellen Zahlen x für die gilt: a£ x £ b
Beispiel:
[3;7] bedeutet: alle Zahlen zwischen 3 und 7 wobei die Zahlen 3 und 7 ebenfalls zum Intervall gehören.
=============
Offene Intervalle:
Man schreibt ]a;b[ oder in manchen Büchern auch (a;b).
Die Zahlen a und b heißen wieder Grenzen des Intervalls, sie gehören aber selbst nicht zum Intervall.
Genauer: Das offene Intervall ]a;b[ ist die Menge aller reellen Zahlen x für die gilt: a < x < b
Beispiel:
]3;7[ bedeutet: alle Zahlen zwischen 3 und 7 wobei die Zahlen 3 und 7 nicht zum Intervall gehören.
Also: die Zahl 3,00456 gehört zum Intervall.
die Zahl 7,03 gehört nicht zum Intervall.
die Zahl 6,999283 gehört zum Intervall.
Die Grenze heißt daher offen. Man kann keine Zahl angeben, die die Grenze ist und zum Intervall gehört. Zwischen JEDER Zahl und der Grenze liegen noch unendlich viele andere Zahlen.
====================
Falls nur eine der Grenzen offen ist, spricht man von einem halboffenen Intervall. Zum Beispiel: [3,5 ; 8[
Zu Beachten ist ferner, dass die "Zahl" ¥ nie in einem Intervall liegen kann.
Zum Beispiel: Alle positiven Zahlen liegen im Intervall: ]0; ¥[.
(Unter der Voraussetzung, dass man die Null nicht zu den positiven Zahlen rechnet).
Dann gibt es noch einige Spitzfindigkeiten:
]-¥ ; +¥[ ist gleichbedeutend mit IR.
Ob dies jedoch ein offenes oder ein abgeschlossenes Intervall ist, scheint unter Mathematikern umstritten zu sein. Ich habe ein Buch, da steht: dieses Intervall ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Naja! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 21:54: |
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Hi Fern und auch alle andere, die Begriffe "offen" und "abgeschlossen" sind in der Mathematik nicht nur für Intervalle anzutreffen sondern für allgemeine Teilmengen von IR (oder auch von IR², und auch von anderen so genannten "topologischen Räumen").
Eine Teilmenge A von IR heißt offen, wenn mit jedem Punkt x aus A auch ein ganzes offenes intervall, welchen x enthält, in A liegt.
So sind also z. B. alle offenen Intervalle, die leere Menge, die Vereinigung von mehreren offenen Intervallen und ganz IR "offene Mengen".
Ein abgeschlossenes intervall [a,b] hingegen ist nicht offen.
Eine Teilmenge A von IR heißt "abgeschlossen", wenn die Kompementärmenge von A offen ist.
Also sind z. B. alle abgeschlossenen Intervalle [a,b], jede endliche Teilmenge von IR, die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Intervallen, die leere Menge und IR "abgeschlosse Mengen".
IR und die leere Mnege sind also sowohl offen, als auch abgeschlossen. Weitere zugleich offene und abgeschlossene Teilmengen von IR gibt es nicht. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 22:37: |
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Hi Zaph,
Danke für die interessanten Ausführungen.
Frage: Wenn die Leermenge als Intervall gelten kann, weshalb dann nicht die Menge, die nur die Zahl 3 enthält?
Und, falls [3] ein Intervall ist, ist es dann ebenfalls offen und abgeschlossen, also gleich ]3[ ? |
Mulder (Mulder)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 15:46: |
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Wie bestimme ich die Nullstelle folgender
Funktion ?
f (x)-> 1/2* Wurzel aus x-3; xe[3;unendlich[ |
Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 16:04: |
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Hi Mulder!
Setze f(x) =0, also 1/2*wurzel(x) - 3=0, bringe die 3 auf die andere Seite:
1/2*Wurzel(x) =3
Multipliziere beide Seiten mit 2:
Wurzel(x) = 6
und dann quadrierst Du auf beiden Seiten:
x = 36
Damit hast Du die Nullstelle.
Sollte es 1/2*Wurzel(x-3) gewesen sein (also die -3 unter der Wurzel), geht es analog (sogar noch einfacher).
Tschö,
Julia |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 17:25: |
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Hi Fern, eine einelementige Menge ist ein abgeschlosenes Intervall:
{a} = [a,a] = {x aus IR | a <= x <= a}
Dagegen ist
]a,a[ = {x aus IR | a < x < a} = { } (leere Menge).
IR und die leere Menge sind wie gesagt die einzigen Teilmengen von IR, die zugleich offen und abgeschlossen sind. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 17:28: |
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Nachtrag: {a} ist deshalb nicht offen, da {a} kein offenes intervall enthält, welches a enthält. (Siehe Definition von "offen".) {a} enthält außer der leeren Menge nämlich überhaupt kein offenes Intervall. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 18:24: |
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Hi Zaph,
Danke für die Erklärungen.
Das mit [3] ist völlig klar.
Habe ich richtig verstanden, dass
{} offen ist, weil die Komplementärmenge abgeschlossen ist
aber
{} auch abgeschlossen ist, weil sie kein offenes Intervall enthält? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. August, 2000 - 20:17: |
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Nicht ganz, Fern,
{ } ist abgeschlossen, weil die Komplementärmenge offen ist. (Normalerweise definiert man zuerst, was eine "offene Menge" ist, und leitet daraus den Begriff "abgeschlossene Menge" her. Das ist einfacher. Man könnte es prinzipiell auch andersrum machen, dann hättest du Recht.)
{ } ist offen, da für jedes Element aus { } gilt, dass blablabla (s. o.). Da { } kein Element enthält, sind für die Elemente der leeren Menge alle Aussagen richtig.
Es gibt Mengen, die kein offenes Intervall enthalten und nicht abgeschlossen sind. (Z. B {1/n | n aus IN}.) Das eine hat mit dem anderen überhaupt nichts zu tun. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 22:03: |
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Hi Zaph!
Habe ich das richtig verstanden, dass das halboffene Intervall [0..¥)
eine abgeschlossene Menge ist, weil die Komplementärmenge (-¥..0) eine offene Menge ist?
Das heißt: ein halboffenes Intervall kann eine geschlossene Menge sein?
Gibt das nicht Probleme mit den Bezeichnungen, wenn eine Menge erstens ein Intervall ist und zweitens eine abgeschlossene Menge ist, aber trotzdem kein abgeschlossenes Intervall ist?
Oder ist da irgendwo ein Denkfehler drin?
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 23:49: |
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Hi Cosine, ich weiß gar nicht, ob man wirklich das Intervall [0,oo) als "halboffenes Intervall" oder als "abgeschlossenes Intervall" bezeichnet. Auf jeden Fall ist dieses Intervall als Teilmenge von IR abgeschlossen (nicht "geschlossen") und nicht offen.
Wozu das ganze überhaupt gut ist, erfährst du dann im Studium, oder wolltest du die ersten zwei Semester überspringen? :-) |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 17:12: |
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Hallo allerseits!
zu Fern:
Danke für deine urlaubsgrüße. Allerdings. wird mein "Urlaub" eher eine Strapaze als ein Traumurlaub. wir sehen uns-wenn dann noch möglich- in ca. 2 bis 3 Wochen Wieder-Bis dahin wünsche ich allen noch ein schönes knobeln und rechnen.
zur Mengenlehre:
Ich erspare mir jeden kommentar zu diesen Thema, Weil ich davon absolut Null Ahnung habe. Ich persönlich halte das Thema für schwachsinnig und anscheinend auch für unnötig. Unser Lehrer hat mit uns dieses Thema solange ich jetzt zur schule gehe (Und das sind 10 Jahre) dieses vThema nie besprochen.
Viele Grüße Niels |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 19:19: |
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Nils, wenn du davon absolut Null Ahnung hast und dieses Thema bei dir in der Schule nie besprochen wurde, wie kommst du dann auf die Idee, dass Mengenlehre Schwachsinn ist??
Übrigens handelt es sich in diesem Thread nicht um Mengenlehre, sondern um Topologie.
Schöne Ferien!! -) |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 21:23: |
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Hallo Zaph,
was ist der Unterschied zwischen Mengenlehre und Topologie?
Null Ahnung heißt dann, das ich von "Topologie" in dem Suinne keine Ahnung hab, was ein Offenes -halboffene etc Intervall ist. Für mich ist ein Intervall zweier Zahlen die Menge zwischen diesen Zwei zahlen.
ich gehe mal davon aus, das man in der Schule das lernt, was man (scheinbar) im leben (in der Mathematik) braucht. Also entweder ist das Thema so speziel, das man das thema erst in der Oberstufe oder jwd an der Uni braucht. Oder Das Thema ist so unwichtig, das es nicht im lehrplan verankert ist. Sollte Fall 1 Zutreffen nehme ich alles zurück, wenn ich dich damit gekränkt haben sollte. Tritt Fall 2 ein verstehe ich nicht, warum man das Thema aus dem Boden gestamft hat.
was nun korrekt ist- weißt nur du und kannst nur du beantworten.
Gruß Nielas |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 22:19: |
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Hi Niels, du bist ja immer noch da :-) Du hast mich in keinster Weise gekränkt. Mein Beitrag von eben sollte, wie offenbar auch deiner zuvor, nur etwas provokativ sein.
Ich bin zwar nicht der einzige, der das beantworten kann, ich probiere es aber trotzdem:
Für den "normalen Menschen", also für den, der nicht vorhat, Mathe zu studieren, sind Mengenlehre und Topologie wahrscheinlich wirklich ziemlich überflüssig. Um hier zu interessanten Ergebnissen zu gelangen, muss man wohl ziemlich tief einsteigen. Und dafür ist in der Schule wohl einfach zu wenig Zeit. Im normalen Leben ist es wichtiger, zumindest die Grundbegriffe von Analysis, linearer Algebra und Stochastik mal gehört zu haben. Deshalb stehen diese Dinge völlig zu Recht nicht auf dem Lehrplan.
In den frühen 70er Jahren war das anders. Da wurde den Schülern in der 5. Klasse krampfhaft versucht, die Grundzüge der Mengenlehre beizubringen. Das hatte natürlich herzlich wenig mit der Mengenlehre zu tun, wie sie im Mathestudium gelehrt wird. Die Mengenlehre der 5. Klasse wird dort in einer Doppelstunde abgehandelt. Du kannst dir vorstellen, dass die armen Eltern der Schüler begeistert waren. Es gab dann spezielle Abendkurse für Eltern, damit diese ihren Kindern bei den Hausaufgaben helfen konnten.
Das Begriffsgehampel von oben mit offenen/abgeschlossenen Mengen/Intervallen darfst du also getrost die nächsten Jahre vergessen.
Gruß
Zaph |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 23:26: |
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Heißt das man macht heutzutage KEINE Mengenlehre mehr in der Schule ??? Demnach wissen die heutigen Schüler mit Begriffen wie Schnittmenge und Vereinigungsmenge nichts anzufangen ??
Wieso hab ich das dann vor einem Jahr noch in der Nachhilfe unterrichten müssen ??
Es grüßt,ein leicht verwirrter Moderator dieses Bords,dem der Unterschied zwischen Topologie und Mengenlehre klarzusein schien. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 23:44: |
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Hi Ingo, keinen Schimmer, was heute in der Schule gelehrt wird. Nach Niels' Antwort bin ich davon ausgegangen, dass Mengenlehre heute kein Thema mehr wäre. Aber da habe ich mich wohl getäuscht. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. August, 2000 - 18:51: |
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Hi Zaph und Ingo!
Ich habe dieses Jahr Abi gemacht und bin in meiner Schullaufbahn nie der Topologie begenet.
Mengenlehre als explizites Thema habe ich eigentlich auch nie richtig gehabt, allerdings kamen Mengen am Rande immer vor.
Ich weiß nicht genau, wann der Begriff Megen zum ersten Mal gefallen war, aber spätestens bei der Lösungsmenge IL mussten wir uns zumindest mit der leeren Menge auseinandersetzen.
Von da an wurden Mengen immer mal wieder berwendet, wenn sie gebraucht wurden.
Die ganzen Sachen, wie Schnittmenge, Teilmenge, Vereinungsmenge und sowas wurden immer, wenn man sie gebraucht hat, kurz erklärt und dann verwendet. Systematisch haben wir diese Sachen (Schnittmenge, Vereinigungsmenge, usw) in der 12 im Zusammenhang mit der Stochastik durchgenommen.
Ereignis, als Menge möglicher Ergebnisse.
P(A vereinigt mit B)=P(A)+P(B)-P(A geschnitten mit B)
Es kann aber sein, dass das vorher auch schon mal unterrichtet wurde, aber ich habe erst in der 8., 9., 10. Klasse angefangen, mich für Mathematik zu interessieren. Davor habe ich meistens nur geschlafen.:-)
Nebenbei: Die Begriffe Intervall, halboffen, offen und abgeschlossen haben wir in der 9, 10 oder 11 mal gehabt. Zusammenhang weiß ich nicht mehr.
Zaph, das was Du über die Abendkurse zum Thema Mengenlehre erzählt hast, habe ich auch schon mal gehört, nur hat man mir erzählt, man hätte früher schon in der ersten Klasse mit Mengenlehre angefangen. Also bevor man die Zahlen durchgenommen hat, mussten sich die Kinder mit den Mengen rumplagen. Ich sage "rumplagen", weil die Kinder in die Schule gekommen sind mit der Erwartung, sie könnten hier endlich die Zahlen und dann Rechnen lernen. Vielleicht ist man dann deshalb wieder davon abgekommen. Ich persönlich habe in der ersten Klasse direkt mit den Zahlen angefangen. Erst die 1, dann die 2, dann 3,4,5 und 6, dann die 0 und dann der Rest. Das weiß ich noch... Als dann das kleine Einmaleins kam, habe ich aufgegeben. Manchmal habe ich noch Probleme mit 6*7;-)
Nunja, das war das, was ich hier mal loswerden wollte.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 12:03: |
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Hallo allerseits!!!!
-Da bin ich wieder-
zu Zaph:
stört es dich, das ich immeer nboch da bin (war)?-wolltest du mich als "Quälgeist" etwa loswerden?-
nun ja, wegen euch habe ich meinen "Traumurlaub" abgebrochen um euch weiter zu nerven oder zu unterstützen...
Zum obigen Thema:
-Verzeiung;aber den genauen Untereschied zwischen Mengenlehre und Topologie habe ich immer noch nicht ganz kapiert.
Übrigens zaph; das mit den Abendkursen kann ich nur bestätigen. mein Großvater ärgert sich heute noch, das er damals diesen "Schwächsin von Mengenlehre" lehrnen mußte und es bis hgeute-genauso wie meine Eltern-nicht begriffen hat.es kamm dan die bekannte "Wozubrauchichdenscheißstimmung" bei ihnen auf.
ansonsten kann ich auch "Cosines" Beitrag bestätigen.Am rande haben wir auch mal so ein Begriff erklärt bekommen.Dabei sind wir bisher immer nor an der Oberfläche gekrochen.Wirklich in der Materie eingetaucht sind wir bisher nie.
Das dies Thema einzelne ausfürlicher hatten als andere mag daran ligen, das sie in anderen Bundesländern leben. Leider gehört die Schulpolitik in "good old blody Germany" zur Länderhoheit.Unser Bildungssysthem ist in der Bezihung ein Flickenteppich.
Gruß Niels |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 16:23: |
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Hi Nils, Cosine,
Nils: Kurzurlaube sind am intensivsten. Trotzdem werde ich mich heute für zwei Wochen verabschieden müssen.
Zum Unterschied Mengenlehre/Topologie:
In der Mengenlehre befasst man sich mit grundsätzlichen Problemen, z. B. was überhaupt eine Menge ist oder auch nicht ist. Oder auch mit der "Mächtigkeit" von Mengen. Hat z. B. IN weniger Elemente als Q (rationale Zahlen) oder IR? Wenn ja, gibt es etwas dazwischen? Gibt es eine Menge mit maximaler Mächtigkeit? Oder gibt es immer und immer größere Mengen? Gibt es die Menge aller Mengen?
Die Topologie befasst sich ebenfalls mit Mengen. Eigentlich kommen Mengen in jedem Teilgebiet der Mathemarik vor. Bei der Topologie haben die Mengen aber eine zusätzliche Struktur. Z. B. kann man Abstände zwischen Punkten messen und dann definieren, was z. B. "stetig" ist. Der Stetigkeitsbegriff lässt sich von IR auf die wildesten Mengen/Strukturen verallgemeinern, auch wenn man dort keine Abstände messen kann. Oder es geht um zusammenhängende und unzusammenhängende Mengen. Manchmal wird Topologie auch "Gummigeometrie" genannt. Es geht dann garnicht um irgendwelche Längenbeziehungen, wie z. B. bei der Dreiecksberechnung, sondern eher um Probleme wie bei den drei Kraftwerken und den drei Häusern. Siehe dort ...
Cosine: Du hast Recht! Ich erinnere mich, dass ich meinem kleinen Bruder in Mengenlehre helfen musste. Und der ist gerade in die Schule gekommen. |
Steffi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 21:00: |
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Hallo Fern,
noch einmal zu den Wurzeln:
Wenn man nach deiner Meinung aus einer positiven Zahl durch Wurzelziehen wieder nur eine positive Zahl bekommt, dann erklär mir doch mal, warum z.B. (-3)*(-3) = 9 sein kann????????
Steffi |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 23:11: |
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Hi Steffi!
Wenn Y eine Zahl größer als Null ist, dann gibt es immer zwei Zahlen x, die die Eigenschaft besitzen, dass x*x=Y ist.
Die größere von beiden nennt man die Wurzel aus (Y) und schreibt Ö(Y).
Und diese ist immer größer Null.
Bei Deinem Beispiel ist Y = 9 und die beiden x-Werte, die die Gleichung erfüllen, sind (+3) und (-3). (+3) ist die größere Lösung und damit die Wurzel aus 9. (-3) ist die andere Lösung und damit nur -Wurzel aus 9.
Jetzt alles klar?
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. August, 2000 - 09:34: |
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Hallo Steffi,
Cosine hat den Zusammenhang ja schon richtig dargestellt.
Mit der Ansicht,dass Ö(9) = -3 sei, scheinst du einem weitverbreiteten Irrtum zu erliegen. Weshalb dieser Irrtum so verbreitet ist, kann ich nicht sagen: vielleicht erklären die Lehrer dies den Schülern falsch oder sie wissen es selbst nicht besser, weil sie es auch von ihren Lehrern falsch erklärt bekommen haben.
In jedem vernünftigen Mathebuch kann man aber nachlesen, dass die (Quadrat)-Wurzel aus einer positiven Zahl wiederum eine positive Zahl ist.
Dies kann man auf verschiedene Weise begründen:
Durch Definition der Wurzelfunktion Öx für x³0 als Umkehrfunktion von x². (Die Funktion x² ist nur umkehrbar [=injektiv] falls man den Definitionsbereich auf [0;¥[ einschränkt).
Durch Definition des Funktionsbegriffes:
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem x aus dem Definitionsbereiches genau einen Wert y des Bildbereiches zuordnet. (Hätte Ö(x) zwei Werte y zugeordnet, so wäre die Wurzelfunktion keine Funktion).
===============
Dein Beispiel: (-3)*(-3)=9 ist etwas anderes.
Die Gleichung x²=a hat zwei Lösungen:
1. Ö(a)
2. -Ö(a)
In unserem Fall also: x²=9 oder x*x=9
hat als Lösung:
1. Ö(9) = +3
2. -Ö(9) = -(+3)=-3 |
|
