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Max
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 11:50: | 
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Hi!
Nachdem man die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung gefunden hat, verwendet man ja das Verfahren der "Variation der Konstanten"
y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x).
Da man nun aber 2 Funktion C1(x) und C2(x) bestimmen muss, benötigt man dementsprechend auch ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen.
Man setzt:
(1) C1'y1+C2'y2 =0
(2) C1'y1'+C2'y2'=f(x)
Sicherlich führt eine solche Setztung zum Ziel, allerdings verstehe ich nicht, wie man auf die beiden Gleichungen kommt, insbesondere auf die untere?
MfG
Max |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. August, 2000 - 17:37: |
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Hi Max,
Gleichung (1) ist willkürlich gewählt. (Es gibt genügend Auswahl für C1 und C2, dass das funktioniert.) Daraus bestimmst du dann Gleichung (2) wie folgt.
Sei y'' + a(x) y' + b(x) y = f(x) die Dgl.
Für y machst du den Ansatz y = C1 y1 + C2 y2 und setzt dies in die Dgl ein.
(C1 y1 + C2 y2)'' + a (C1 y1 + C2 y2)' + b (C1 y1 + C2 y2) = f
<=>
(C1'y1 + C1 y1' + C2'y2 + C2 y2')' + a (C1'y1 + C1 y1' + C2'y2 + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f
<=> [wg. Gl. (1)]
(C1 y1' + C2 y2')' + a (C1 y1' + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f
<=>
C1'y1' + C1 y1'' + C2'y2' + C2 y2'' + a (C1 y1' + C2 y2') + b (C1 y1 + C2 y2) = f
<=> [umsortieren]
C1'y1' + C2'y2' + C1 (y1'' + a y1' + b y1) + C2 ( y2'' + a y2' + b y2) = f
<=> [da y1, y2 Lösungen der homogenen Dgl.]
C1'y1' + C2'y2' = f |
Max
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 19:02: |
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Hi,
und dieses Gleichungssystem muss dann immer eine Lösung haben?
In meinem Buch steht lediglich, dass dies wegen einer "Wronski-Determinante" so sein soll. Allerdings ist nicht erklärt, was das überhaupt ist.
Welche guten Bücher gibt es denn so zu diesem Thema?
Max |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. August, 2000 - 19:50: |
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Hallo Max,
Dein Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn die beiden Lösungen y1(x) und y2(x) linear unabhängig sind.
Dies kann man mit der Wronski-Determinante testen.
| y1 y2 |
Wronski = | y1' y2'| = y1*y2' - y2*y1'
Diese Determinante muss ungleich Null sein.
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Beispiel:
y" + y = 0
y1 = sin(x)
y2 = cos(x)
W = y1*y2' - y2*y1' = -sin²(x) - cos²(x) = -1 also nicht gleich Null. |
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