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Partielle DGL

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Differentialgleichungen » Partielle DGL « Zurück Vor »

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Dirk
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 22:58:   Beitrag drucken

Bestimmen Sie X(x) und w>0 so,daß
u(x,t)=X(x)(t-2)^(w^2) Lösung der partiellen DGL

u(/x/x)=(2-t)u(/t) 0 < = t > = 2 ist
und die Bedingungen
u(0,t)=u(2*pi,t)=0 und u(x,0)=sin(2x) erfüllt.


(/x) = ableitung nach x (indize)
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Bubble
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Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juli, 2000 - 21:10:   Beitrag drucken

Hallo Dirk,

ich weiß nicht, ob es an meinen begrenzten Mathekenntnissen liegt, auf jeden Fall kann ich Deiner Aufgabenstellung nicht so ganz folgen.
Würdest Du das bitte noch ein bisschen kommentieren....

Grüße Bubble
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Ingo
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Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juli, 2000 - 23:25:   Beitrag drucken

Also nochmal in Reinform :
Zu lösen ist die PDG
uxx=(2-t)ut
mit den Nebenbedingungen
u(0,t)=u(2p,t)=0
u(x,0)=sin(2x)


Dabei soll X(x)(t-2)w^2 Lösung dieser Gleichung sein.

Richtig ??
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dirk
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Veröffentlicht am Freitag, den 28. Juli, 2000 - 23:52:   Beitrag drucken

ja ingo ich glaube so soll das sein :)
das geht irgendwie mit seperationsansatz und später noch fourierreihe denk ich mal...
kannst du das lösen?
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 21:39:   Beitrag drucken

Erstmal vorweg : Es ist ne ganze Weile her,daß ich mich mit PDGs auseinandergesetzt habe und das auch nur ein Paar Vorlesungen lang(nichtmal das ganze Semster...).
Ich würde aber erstmal die vorgegebene Lösung nutzen,um die PDG auf eine Gewöhnliche Differentialgleichung zu reduzieren.
uxx=X''(x)(t-2)w^2
ut=X(x)(-w2)(t-2)(w^2)-1

=> X''(x)=-w2X(x)
=> X(x)=a*cos(xÖw)+b*sin(xÖw)
u(0,t)=X(0)(t-2)w^2=0 => X(0)=0 => a=0
u(x,0)=b*sin(xÖw)(-2)w^2=sin(2x)

ja und nun bin ich mir nicht ganz sicher : Ich würde spontan b=(-2)-w^2 und w=4 folgern,aber wie gesagt : das ist nur intuitiv....
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bAINy
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Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 21:48:   Beitrag drucken

Seperationsansatz:
u(x,t)=X(x)*T(t)

X''(x)/X(x) = (2-t)*T'(t)/T(t)=-k²

X''(x)+k²*X(x)=0 -> DGL l=lambda
l²+k²=0
X(x)=c1*cos(kx)+c2*sin(kx)

Randbedingungen einsetzen:

u(0,t)=X(0)*T(t)=0 X(0)=0
u(2*pi,t)=X(2*pi)*T(t)=0 X(2*pi)=0

0=c1*cos(0)+c2*sin(0) c1=0
0=c2*sin(2*k*pi) für k=n/2

Xn(x)=cn*sin(x*n/2)


T'(t)/T(t)=-k²/(2-t)
T(t)=c*(t-2)^k² c=1 aus aufgabenstellung

u(x,t)=Xn(x)*Tn(t)

Randbedingung: u(x,0)=sin(2x)

sin(2*x)=cn*sin(x*n/2)*(t-2)^k²
sin(2*x)=cn*sin(x*n/2)*(-2)^(n/2)²

Koeffizientenvergleich liefert:
n=4
cn=1/16

u(x,t)=1/16*sin(2*x)*(t-2)^4 (w=2)
----------------------------

ohne Gefähr
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Ingo
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Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 18:47:   Beitrag drucken

Bainy hat recht.
In meiner Rechnung müßte Öw durch w ersetzt werden.Dann kommt dasselbe raus.
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Bubble
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Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 22:41:   Beitrag drucken

Hallo ihr Mathefreaks,

mir ist gerade aufgefallen, daß es eine neue Rubrik "Universitäts-Niveau" gibt.

Vielleicht seid Ihr da besser aufgehoben...
J
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Soundtrack
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 10:05:   Beitrag drucken

Hi Leute...das scheint ja alles Schwachsinn zu sein, mit Ausnahme von Bainy´s.
Die Aufgabe ist deshalb so trivial weil die Randbedingung so schön ist.
Überhaupt habe ich noch nicht gehört, dass in Schulen PDG gelöst werden.Ich habe mit 17 nur Gewöhnliche Differentialgleichungen gelöst...
eb

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