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Beitrag |
    
Jens (Mrblue)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 11:36: | 
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Liebe Leute,
ich habe ein Problem mit einer rekursiv definierten Folge:
a(1) = 1; a(n+1) = (a(n)+5)^1/2);
daraus folgt:
a(1) = 1
a(2) = 6^1/2
a(3) = (6^1/2+5)^1/2
etc.
Die Folge soll untersucht werden auf Konvergenz mit Hilfe des Satze: "Eine nach oben beschränkte monoton wachsende Folge ist konvergent!"
Zu zeigen ist also im ersten Schritt, dass a(n) £ a(n+1). Dies soll ich laut Aufgabenstellung mit vollständiger Induktion beweisen und schon fangen meine Schwierigkeiten an. Die Induktionsverankerung gelingt leicht. Und dann? Muß der Ansatz lauten:
(a(n)+5)^1/2 £ (a(n+1)^1/2+5)^1/2
Aber dieser Ansatz führ in die Irre. Ich gelange nach Umformung zu:
a(n)^2 £ a(n)+5
und das hilft mir irgendie nicht weiter. Oder kann ich es blos nicht interpretieren?!
Wer weiß Rat?
Mr.Blue |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 12:17: |
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Hallo
Der Witz dieser Aufgabe ist, dass Du die Monotonie erst nachweisen kannst, nachdem Du die Beschraenktheit bewiesen hast, dabei scheiterte auch mein erster Ansatz <3, die sehr genaue Abschaetzung <2,8 fuehrte dann zum Erfolg, der Grenzwert liegt irgendwo bei 2,79...
1) Beschraenktheit: an<2,8
Beweis durch induktion:
1 < 2,8
Es ist:
an+1=sqrt(an+5)=sqrt(7,8) < 2,8
monoton steigend:
an < 2,8
an - 0,5 < 3,2
(an - 0,5)² < 4,69 < 5,25
Aufloesen der Klammer ergibt:
an²-an+0,25 < 5,25
an² < an+5
an < sqrt(an+5)
Uebrigens: Der Grenzwert ist (sqrt(21)+1)/2, dies findet man heraus, indem man in der Rekursionsformel an+1 und an gleich dem Grenzwert a setzt, und dann nach a aufloest, dies funktioniert jedoch nur, wenn man vorher sichergestellt hat, dass die Folge konvergiert.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Jens (Mrblue)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 13:13: |
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Hi SpockGeiger,
erst mal Danke, mit eine so schnellen Nachricht habe ich nicht gerechnet. Ich komme ohne Nachfrage aber nicht weiter.
Dein Ansatz ist nachvollziehbar: Erst die Schranke zeigen, dann geht es weiter. Prima Idee!
Deinen weiteren Ausführungen kann ich nur sehr eingeschränkt folgen:
1.) a(n)-0,5 < 3,2 o.k.
dann: (a(n)-0,5) <4,69<5,25
hä?: (3,2)^2 > 4,69
und überhaupt: wo "zauberst" Du die 4,69 her?
2. ) Insgesamt bin ich nicht in der Lage zu erkennen, wie Du mit Deinen Ausführungen die Monotonie der Folge zeigst. Die notwendigerweise zu zeigende Aussage a(n)<a(n+1) kann ich nicht erkennen.
3.) Zweifle ich keineswegs an Deinen sondern an meinen Fähigkeiten. Hast Du eine etwas ausführlichere Antwort für jemanden der nicht so schnell ist wie Du?
Grüße
J. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 16:57: |
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Hi
erstmal entschuldige, dass ich anscheinend zu schnell war. Ich wuerde gerne betonen, dass es nicht an Arroganz, sondern an Faulheit liegt, den Kram Einzutippen ist anstrengend...
zu 1)
ich habe mich vertippt, statt 3,2 muss es 2,3 heissen, denn man muss ja auf beiden Seiten 0,5 ABZIEHEN. Da zeigt sich auch mal wieder, dass man niemandem blind vertrauen darf, schon gar nicht, wenn es um die einfachsten Rechnungen geht. Dann habe ich die naechste tatsaechlich hergezaubert, denn (2,3)² ist leider 5,29 und das ist leider etwas zu viel. Ich habe jetzt mal gerade gecheckt, ob man es mit kleineren Schranken hinkriegt, aber es sieht so aus, als muesste man tatsaechlich den Grenzwert als Schranke nehmen, den habe ich die ja angegeben. Dann kann man zwar nicht mehr strenge Monotonie beweisen, aber das ist auch nicht noetig.
Versuch es bitte nach dem gleichen Schema erstmal selbst, ansonsten hacke ich das auch nochmal rein, puh, ziemlich fiese Aufgabe, schlag Deinen Lehrer mal von mir...;)
zu 2)
Jetzt guck aber bitte mal genauer hin! auf der rechten Seite steht doch per Definition an+1...
Uebrigens: das die Antwort schnell kam, da hast Du schon recht, die meisten Antworten kommen zwischen 23 und 1 (ist doch interessant, wie nah manche Klisches doch an der Wahrheit sind...;)
viele Gruesse
SpockGeiger |
Jens (Mrblue)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Juli, 2000 - 22:18: |
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Hi Spock, (möge Dich die Kurzform nicht brüskieren),
ja ja, es ist nach 23:00 Uhr und Klischees vs. Wahrheit sind schon so ein Kapitel für sich...
zu 2.) sorry, manchmal bin (auch) ich blind.
zu 1.) hack es rein (wenn es Dir nichts ausmacht - mein Dank wird Dir Ewig usw.)
leider kann ich kein Lehrerli von Dir schlagen - ich mach das ganz ohne einen solchen....
Gruß
J. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 00:40: |
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Hi
Also gut, Du hast es nicht anders gewollt, alos wollen wir mal:
Wir behaupten also, die Schranke ist (sqrt(21)+1)/2
n=1 ist klar!
Induktion: angenommen an < (sqrt(21)+1)/2,
dann ist an+1=sqrt(an+5)
nach Induktionsvoraussetzung ist also
an+1 < sqrt( (sqrt(21)+1)/2 + 5)
Da wir es nur mit positiven Zahlen zu tun haben, koennen wir auch auf beiden Seiten quadrieren, und erhalten:
an+1² < (sqrt(21)+1)/2 + 5 = sqrt(21) + 5,5
Jetzt muessen wir nur noch ueberlegen, was wir eigentlich zeigen wollten, es war an+1 < (sqrt(21)+1)/2
Wenn Du jetzt aber die rechte Seite dieser Ungleichung quadrierst, und die binomische Formel anwendest (OK, ein bisschen vereinfachen ist auch noch noetig), bekommst Du gerade die rechte Seite von der Gleichung dabvor heraus.
Also haben wir die Beschraenktheit gezeigt.
Nun zu der Monotonie:
Ich dachte mir mal, ich mache es diesmal nicht so elegant, sondern zeige, wie man darauf kommt. Das ´geht, da alle Umformungen nicht nur Folgerungen sind, sondern sogar Aequivalenzen, d.h. man darf sie auch rueckwaerts lesen, oder anders gesagt, das wa sunten steht, ist Tatsache, und das was oben steht (die Behauptung), wird damit bewiesen:
Wir wollen beweisen:
an+1 > an
sqrt(an + 5) > an | quadrieren (wir sind in den positiven Zahlen)
an + 5 > an²
5,25 > an² - an + 0,25
5,25 > (an-0,5)²
Also, um die Behauptung zu zeigen muessen wir die letzte Ungleichung zeigen:
wir wissen:
an < sqrt(21)/2 + 1/2
an - 1/2 < sqrt(21)/2
(an - 1/2)² < 21/4 = 5,25 q.e.d.
Wenn Du noch fragen hast, sag ohne Scheu bescheid...
viele Gruesse
SpockGeiger |
Jens (Mrblue)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 01:00: |
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Hi Spock (und Hi alle anderen , die sich für das Problem interessieren)!
Ich bin einen anderen Weg gegangen.
Der Grenzwert - den Du völlig korrekt ermittelt hast - hilft uns in unserem Bemühen Monotonie aufzuzeigen nicht weiter. Das Wachstum der Folge muß -sofern existent- nach Induktionsverankerung allgemein gezeigt werden.
zu Zeigen:
a(n) £ a(n+1)
gilt für
a(1) £ a(2)
1 < 6^(1/2)
locker
aus der Definition a(n+1) = (a(n)+5)^(1/2) muß also folgen:
(a(n)+5)^(1/2) < ((a(n)+5)^(1/2)+5)^(1/2)
nach dem (schreibt man das nach neuer Rechtschreibung wirklich so?) beide Seiten quadriert werden wird daraus
a(n)+5 < (a(n)+5)^(1/2)+5
was äquivalent ist mit
a(n) < (a(n)+5)^(1/2)
q.e.d. oder was?!
Ich bitte um Meinungsäußerungen!!!
Grüße (an alle Nachteulen)
J. J |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 09:48: |
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Hallo Jens
Da Du Meinungsaeusserungen wolltest, hier meine:
Ich bin mir noch nicht voellig sicher, erst muss mein Kopf aufhoeren, sich wie eine Wassermelone anzufuehlen, aber Du hast aus an+1 < an+2
an < an+1 gefolgert, und das ist genau die falsche Richtung, ich bin der festen Ueberzeugung, dass man die Beschraenkung nicht weglassen kann, denn waere eins der Folgenglieder Groesser, so wuerde die Folge ab da abwaerts auf den Grenzwert zugehen (ausprobieren!), das ist eine der interessanten Folgen, bei den es egal, wo Du startest, meinetwegen auch bei 2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^2))))))...
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 18:00: |
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Hallo Jens
Mir ist Deine Induktion nochmal durch den Kopf gegangen. Sie ist doch richtig, wenn man sie rueckwaerts liest, das geht ja wegen der Aequivalenzen, ich wollte es nur nicht wahrhaben, dass es so einfach ist. Du solltest trotzdem bei sowas hervorheben, dass am Ende die Voraussetzung steht, und am Anfang die Behauptung.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 21:11: |
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Hallo Jens,
Nach Duden "Die deutsche Rechtschreibung": nachdem. |
Jens (Mrblue)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 21:39: |
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Hi Fern,
ja Danke, habe inzwischen in das "Amtliches Regelwerk" geschaut. Die sind sich mit dem Duden einig.
J. |
Tom
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 15:08: |
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Lest doch mal was über Fixpunkte nach. Meiner Meinung nach ist eine nach oben (unten) beschränkte und streng monoton wachsende (fallende) Folgen immer mit dem Auftreten eines Fixpunktes verbunden:
a: N -> R; n |-> a(n),
Bedingung a(n) = a(n+1) = F (a(n)). Dann ist
a(n) Fixpunkt von F, wobei F die Formel ist,
in welcher a(n) vorkommt:
a(n+1) := F (a(n)).
Bsp: a(n+1) := b/(a(n)+b)
x = b/(x+b)
SQR(x)+b*x-b=0;
x(1/2)=-(b/2)+-SQRT(SQR(b)/4+b)
Wir haben hier auf alle Fälle zwei Fixpunkte der Zahlenfolge vorliegen, falls es ein n gibt,
sodaß a(n) einen der obigen Werte annimmt. Da man an b beliebig drehen kann, dürfte es kein Problem sein, einen vorgegebenen Wert von a(n) zu erhalten. Wenn es aber einen Fixpunkt x der Folge a(n) gibt, so gilt a(N) = x für ein N und für alle n>=N. Damit muß x Grenzwert der Folge sein
denn für alle n>=N ist |a(n)-x|=0.
Denkt mal drüber nach und schreibt mir,
Tom. |
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