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V. H. (Victor)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juli, 2000 - 07:54: | 
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Servus allerseits,
Wir haben folgendes "triviale ?" Problem:
Welche rationale Funktion kleinstmöglichen Grades (für Zähler und Nenner) schneidet die y- Achse bei y= -2, hat bei x= 1 eine schneidende Nullstelle, bei x=-1 die Steigung 1 und bei x= 2 einen Pol mit Vorzeichenwechsel ?
Der Ansatz ist mit Linearfaktorzerlegung für Zähler und Nenner
anzuschreiben !!!!
Vielen Dank im Voraus,
Victor und Sven |
Ralf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juli, 2000 - 17:36: |
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Ansatz:
x=1 schneidende Nullstelle bedeutet, dass im Zaehler der Faktor (x-1) vorkommt.
Die anderen Aussagen musst Du jetzt auch einfach in Zaehler- oder Nennerterme umschreiben, dann hast Du die Funktion nach etwas rechnen.
Ralf |
V. H. (Victor)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 11:48: |
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Vielen Dank Ralf,
Ein kleines Problemchen für alle,
Erst mal an Ralf, auf die Idee, von der Nullstelle bei 1 auf (x-1)/irgendwas
zu kommen ist eigentlich nicht so schwer und das ist mir schon im Vorraus
klar gewesen ;). Nur der andere Quatsch in der Aufgabenstellung, der gegeben
ist, macht das lösen etwas schwierig. Also wenn uns einer helfen könnte wäre
es Klasse. ich stelle hier nochmal die Aufgabe:
Welche rationale Funktion kleinstmöglichen Grades (für Zähler und Nenner)
schneidet die y- Achse
bei y= -2, hat bei x= 1 eine schneidende Nullstelle, bei x=-1 die Steigung 1
und bei x= 2 einen Pol mit Vorzeichenwechsel ? Der Ansatz ist mit
Linearfaktorzerlegung für Zähler und Nenner.
Mir ist aufgefallen:
- Nullstelle = 1 --> Zähler (x-1)
- ungleichnamiger Pol --> höheren Grad im Nenner als im Zähler und ungerader
Exponent
- f(0)=-2 f(2)= undef f(1)=0 und "leider" f'(x)=1 (wie ich die
Ableitung in eine gebrochen Rationale Fkt. Findung einbaue weis ich leider
nicht.
Mit freundlichsten Grüssen Victor, Sven |
Steffi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 21:53: |
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Hallo Victor & Sven,
hier meine Lösung eurer Aufgabe:
Es muss sich um eine gebr. rationale Funktion handeln, da es eine Polstelle für x=2 gibt. Diese hat einen Vorzeichenwechsel, also ist der Grad der Polstelle ungerade, d.h., der Nenner hat dort eine einfache, dreifache, fünffache usw. Nullstelle.
Wenn wir die gesuchte Funktion in folgender Schreibweise angeben
f(x) = g(x)/h(x)
und nehmen wir an, dass es sich bei der Polstelle um eine 1. Grades handelt, dann ergibt sich für h(x) = x-2
Wir können also schreiben
f(x) = g(x)/(x-2)
Nun müssen wir die Möglichkeiten für g(x) nach und nach durchspielen.
1. g(x) ist linear
g(x) = ax + b
Dann ist
f(x) = (ax+b)/(x-2) und
f'(x) = (2a+b)/(x-2)²
I. Bed.: f(0)=-2 => -2=b/(-2) => b=4
II. Bed.: f(1)=0 => 0=a+b => a=-4
also ist demnach
f(x) = (-4x+4)/(x-2) und
f'(x) = (-8+4)/(x-2)² = -4/(x-2)²
III. Bed.: f'(-1)=1 => 1=-4/(-1-2)² => 1=-4/9 falsche Aussage!
Also handelt es sich bei g(x) offensichtlich nicht um eine lineare Funktion.
2. g(x) ist eine quadratische Funktion
g(x) = ax²+bx+c
dann ist
f(x) = (ax²+bx+c)/(x-2) und
f'(x) = ((2ax+b)*(x-2)-(ax²+bx+c))/(x-2)²
f'(x) = (ax²-4ax-2b-c)/(x-2)²
I. Bed.: f(o)=-2 => -2=c/(-2) => c=4
II. Bed.: f(1)=0 => 0=a+b+4
III. Bed.: f'(-1)=1 => 1=(a+4a-2b-4)/9 => 0=5a-2b-13
Die aus der II. und III. Bed. erhaltenen Gleichungen addieren wir (wobei wir die II. mit 2 multiplizieren):
..II 0 = a+ b+ 4 |*2
..III 0 = 5a-2b-13 | +
Summe 0 = 7a - 5 |+5
.....7a = 5 |/7
......a = 5/7
Einsetzen in II.:
0 = 5/7+b+4 => b = -33/7
Also lautet die gesuchte Funktion
f(x) = (5x²/7-33x/7+4)/(x-2)
oder anders geschrieben
f(x) = (5x²-33x+28)/(7*(x-2))
Um den Zähler auch in Linearfaktoren darzustellen, dividiere ich ihn durch (x-1) (wegen Nullstelle für x=1):
.(5x²-33x+28)/(x-1)=5x-28
-(5x²- 5x)
........(-28x+28)
.......-(-28x+28)
.....................0
In Linearfaktoren zerlegt lautet unsere Funktion also
f(x) = (x-1)*(5x-28)/(7*(x-2)
Steffi |
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