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wind
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 17:04: | 
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hei
wer kann mir zeigen, wie ich diese aufgabe zu lösen habe??
gesucht ist ein polynom dritten grades, dessen graph:
a) einen sattelpunkt un (2/1) hat und die x-achse in (4/0) schneidet.
b) die x-achse im ursprung im winke 45° schneidet und an der stelle x=1/3 einen wendepunkt mit der steigung 2/3 hat.
wer kannmir sagen, welche bedingungen erfüllt sein müssen |
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 18:54: |
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Hallo wind!
Ein Polynom dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f"(x) = 6ax + 2b
Wir suchen nun a,b,c und d.
a)
Gegeben sind nun folgende vier Bedingungen, die die Funktion zu erfüllen hat:
Punkt (2|1) [I] und (4|0) [II] sind Punkte des Graphen. Die Tangente an der Stelle x=2 hat die Steigung 0 [III]. An der Stelle x=2 ändert sich die Kurvenkrümmung [IV]. Das ergibt folgende Gleichungen:
[I] : 8a + 4b + 2c + d = 1
[II] : 64a + 16b + 4c + d = 0
[III]: 12a + 4b + c = 0
[IV] : 12a + 2b = 0
Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen:
a = -1/8
b = 3/4
c = -3/2
d = 2
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:
f(x) = (-1/8)x³ + (3/4)x² - (3/2)x + 2
b)
Die Aufgabe läuft ganz analog zu a), nur dass folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
Punkt (0|0) liegt auf der Funktion [1], bei x=0 hat die Tangente die Steigung 1 [II], bei x=1/3 verschwindet die 2. Ableitung [III] und die Tangente bei x=1/3 hat die Steigung 2/3 [IV]:
[I] : d = 0
[II] : c = 1
[III]: 2a + 2b = 0
[IV] : (1/3)a + (2/3)b + c = 2/3
Die Lösungen sind hier:
a = 1
b = -1
c = 1
d = 0
Die Funktion ist damit:
f(x) = x³ - x² + x
MfG, Integralgott |
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