    
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 01:40: | 
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Hallo C.!
Die Höhe der Pyramide sei h, W{...} heißt "Wurzel aus ...".
Das Volumen der Pyramide ist:
V(X,h) = (1/3)*X²*h
Leider ist h nicht gegeben, sodass wir h durch s ersetzen müssen. Dazu betrachten wir das rechtwinklige Dreieck mit Höhe h, Seitenkante s und halber Flächendiagonalen W{2}*X/2. Es gilt der Satz des Pythagoras:
X²/2 + h² = s² <=> h = W{s²-X²/2}
Das setzen wir oben ein, und bei gegebenem s ist die Funktion nur noch von X abhängig:
V(X) = (1/3)*X²*W{s²-X²/2}
Hiervon ist das Maximum gesucht:
V'(X) = (1/3) * [2X*W{s²-X²/2} - X³/(2W{s²-X²/2})]
2X*W{s²-X²/2} = X³/(2W{s²-X²/2})
<=> 4(s²-X²/2) = X²
<=> 4s² = 3X²
=> X = +/- W{4/3}*s
Da eine Seite keine negative Länge hat, ist das einzige Ergebnis X = W{4/3}*s. Für dieses X hat die Pyramide also maximales Volumen:
V(W{4/3}*s) = (1/3)*(4/3)*s²*W{s²-(2/3)s²}
= (4/9)*W{1/3}*s³
Bei s=20cm wären das ungefähr:
Vmax(s=20cm) = (4/9)*W{1/3}*20³cm³ = 2053cm³
So, ich hoffe, dass ich zu dieser späten Stunde noch alles richtig gerechnet habe!
MfG, Integralgott |
