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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juli, 2000 - 21:54: | 
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Hallo Zaph, megamath und alle anderen Mathe-Asse!
Folgende zwei Probleme passen nicht in die Rubrik Hausaufgaben Klasse 1 bis 13 und sind deshalb auch überhaupt nicht eilig. Auch in die Rubrik "Differentialrechnung" passt nur das erste, aber bei meinen "intensiven mathematischen Forschungen" bin ich auf sie gestoßen und vielleicht kennt ja jemand die Lösung.
Erstes Problem:
für x ungleich 0: f(x)=e^(-1/x²)
für x gleich 0: f(0)=0
Ich habe jetzt irgendwo gelesen, dass diese Funktion an der Stelle x=0 beliebig oft diff.bar ist und dass sowohl Funktionswert wie auch alle Ableitungen 0 sein sollen.
Nunja, die Stetigkeit und (einfache) Diff.barkeit zu überprüfen war kein Problem und die ersten zwei Ableitungen waren auch 0. Nur habe ich bis jetzt keine Ahnung, wie ich das für alle n-ten Ableitungen nachweisen kann...
Zweites Problem:
Kann es eine Folge {an} mit folgenden Eigenschaften geben?
S¥ n=0an = 0
S¥ n=0n*an = 1
S¥ n=0nk*an = 0
wobei k jede natürliche Zahl größer 1 sein kann.
Eine Folge, die die ersten beiden Eigenschaften erfüllt, hatte ich bereits gefunden, aber dann wusste ich nicht mehr weiter...
Nebenbei: Meine Idee war an=-sin(n*pi/2)*pin-1/n!
(erste Bedingung:
S¥ n=0an
=S¥ n=0(-sin(n*pi/2)*pin-1/n!)
=-1/piS¥ n=0sin(n*pi/2)*pin/n!
=-1/pisin(pi) = 0 .
zweite Bedingung:
S¥ n=0n*an
=-S¥ n=0n*sin(n*pi/2)*pin-1/n!
=-S¥ n=0n*sin(n*pi/2)*pin-1/(n-1)!
=-cos(pi) = 1 .)
Soviel dazu.
Wäre nett, wenn sich jemand mal den Kopf darüber zerbrechen würde. Wenn nicht, auch nicht schlimm.
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 22:14: |
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Hi Cosine, zumindest fürs erste Problem kann ich dir einen Ansatz bieten.
Zeige mit VI, dass f(n) = exp(-1/x²) * pn(x) / qn(x) für Polynome pn(x) und qn(x). Das genaue Aussehen der Polynome interessiert nicht. Dann funktioniert es im wesentlichen wie bei den ersten beiden Ableitungen.
Zum zweiten Problem habe ich im Moment kein Gefühl. Hatte aber auch noch nicht viel Zeit, drüber nachzudenken. Wie kommst du auf das Problem, hat es irgend einen Hintergrund?
Übrigens ist Megamath in Urlaub. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juli, 2000 - 22:44: |
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Also Problem eins löst Du mit einem Induktionsbeweis. Dabei zeigst Du,daß es zur n.Ableitung von f ein Polynom p3n(t) vom Grad 3n gibt,so daß f(n)(x)=p3n(1/x)e^(-1/x2)
Für n=1 wäre dies p3(t)=2t3
Und wenn es ein solches Polynom p3n gibt,dann gilt für die (n+1).Ableitung nach Produktregel
f(n+1)(x)=p3n(1/x)*(2/x3)e^(-1/x2)-(1/x2)p3n'(1/x)e^(-1/x2)
= e^(-1/x2)*[p3n(1/x)*(2/x3)-(1/x2)p3n'(1/x)]
Betrachte nun den Grad des Polynoms in eckigen Klammern und Du hast die Behauptung bewiesen.
Mithilfe von L'Hospital folgt jetzt die eigentliche Vermutung f(n)(0)=0 bewiesen werden. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juli, 2000 - 12:46: |
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Vielen Dank, Zaph und Ingo!
Ich habe Euren beiden Beweise durchgelesen und habe beide nachvollziehen können.
An VI hatte ich auch schon mal gedacht. Nur habe ich dann immer versucht, eine genaue Formel für die n-te Ableitung aufzustellen, was nicht hingehauen hat. Auf die Idee, dass das genaue Aussehen der Ableitung egal ist, bin ich halt nicht gekommen.
Wie dem auch sei:
Zu Problem 2:
Ich weiß weder, ob es eine Lösung für das Problem gibt, noch welche mathematischen Mittel für die Lösung notwendig sind. Gekommen bin auf das Problem folgendermaßen:
Bekanntlich kann man ja Funktionen (auf bestimmten Intervallen) durch Taylor-Reihen annähern, sozusagen durch unendlich lange Polynome.
Ich hatte mich nun gefragt, ob es auch möglich sein könnte, eine Funktion durch eine Summe von unendlich vielen e-Funktionen anzunähern, und zwar in dieser Form:
f(x)=a0+a1ex+a2e2x+a3e3x+a4e4x+a5e5x + ...
Die Funktion f(x)=1 habe ich schon so darstellen können :-) (a0=1, der Rest 0)
Also habe ich mich an die nächste Funktion f(x)=x gemacht: Ich habe mir nun -ananlog zur Reihenentwicklung- überlegt, dass es mir für's erste genügen würde, wenn Funktionswert und Ableitungen an der Stelle 0 von Originalfunktion und e-Funktions-Näherungskurve übereinstimmen würden.
Funktionswert von e-Funktionen-Summe an der Stelle 0:
a0+a1+a2+a3+...
Bei der Funktion f(x)=x muss das also 0 ergeben.
Als erste Ableitung an der Stelle 0 ergibt sich:
0*a0+1*a1+2a2+3a3+...
Das müsste nun also 1 sein.
Alle weiteren Ableitungen müssten nun wieder 0 ergeben.
Und schon sind wir bei dem oben erklärten Problem.
Ciao
Cosine |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juli, 2000 - 23:16: |
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hm...sagte Dir Fourrier-Reihen schon etwas ? Dort wird nämlich gezeigt ob/wann eine Funktion durch eine Reihe von Sinus und Cosinus Funktionen ,also f(x)=SOO i=-OO cieix dargestellt werden kann. Scheint ja nen ähnliches Problem zu sein,aber ich vermute,daß das mit eix im allgemeinen nicht möglich ist. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 09:47: |
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Hi Ingo!
Ich weiß nur, dass es Fourrier-Reihen gibt und dass man mit der Fourrier-Transformation irgendwie eine periodische Funktion in Sinus und Cosinus Funktionen zerlegen kann. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie die funktioniert und außerdem ist f(x)=x auch nicht periodisch.
Andere Frage, Ingo:
Du sagst,
"Dort wird nämlich gezeigt ob/wann eine Funktion durch eine Reihe von Sinus und Cosinus Funktionen ,also f(x)=SOO i=-OO cieix dargestellt werden kann."
Aber die Reihe, die Du dann hingeschrieben hast, ist doch eine Reihe von e-Funktionen und nicht von Sinus- und Cosinus-Funktionen oder sehe ich das falsch?!?!? Oder sitze ich hier mal wieder auf der Leitung...?
Vielen Dank im Voraus!
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 17:43: |
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Wenn
x = Soo n=0anenx,
dann müsste
ln t = Soo n=0antn
für t ungleich 0 gelten.
ln t lässt sich aber um t=0 nicht in eine Potenzreihe entwickeln. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 18:15: |
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Okay, Zaph!
Das klingt logisch.
Leider... :-(
Vielen Dank, trotzdem.
Ciao
Cosine |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 21:08: |
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Nachtrag zu meiner Anmerkung : Es fehlt der Index,denn das i steht für die komplexe Zahl. Richtig muß es also heißen
f(x)=S00 k=-00ckeikx
mit eikx=cos(kx)+isin(kx) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 22:00: |
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Hi Ingo und Zaph!
Ingo, jetzt wo das i keine Variable mehr ist, sondern die imaginäre Einheit i, kann ich den Ausdruck eher nachzuvollziehen. Ich glaube allerdings nicht, dass mir die Fourrier-Geschichte weiterhilft...
Falls irgendjemand eines Tages aber trotzdem eine Folge {an} mit den oben genannten Eigenschaften finden sollte, wäre ich immer noch interessiert, auch wenn ich jetzt weiß, dass es wohl nicht möglich sein wird, f(x)=x als Summe von e-Funktionen darzustellen...
Trotzdem habe ich meine oben genannte Folge {an} ausprobiert und sie führte zu folgender Funktion:
-EXP(1*X)+PI*PI/6*EXP(3*X)-PI^4/120*EXP(5*X)+PI^6/5040*EXP(7*X)-PI^8/362880*EXP(9*X)+PI^10/39916800*EXP(11*X)
Der Graph dieser Funktion ist in der direkten Umgebung des Ursprungs schon sehr nahe an y=x.
Vielleicht gibt es also doch noch eine Möglichkeit, die Funktion -zumindest teilweise- durch eine e-Funktionensumme anzunähern.
Ich werde nochmal drüber nachdenken.
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juli, 2000 - 22:18: |
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Hi Cosine,
meine Bemerkung von oben sagt nicht unbedingt, dass du mit deinem Ansatz falsch liegst. Es ehrt mich natürlich, das du mir kritiklos alles abnimmst, was ich hier poste. Aber in diesem Falle waren meine Überlegungen wohl noch nicht ins Reine formuliert. Ich weiß die Lösung deines Problems übrigens nicht. Viel Erfolg bei deinen weiteren Forschungen. Z. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juli, 2000 - 22:58: |
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Hi Zaph!
Dass ich Dir alles kritiklos abnehme, liegt wohl daran, dass das was Du hier schreibst, normalerweise immer Hand und Fuß hat und von daher keine Kritik notwendig ist.
(So, genug eingeschleimt... :-))
Und auch wenn Du Dein Argument (ln(t) lässt sich nicht als Potenzreihe um t=0 entwickeln) noch nicht ins Reine formuliert hattest; es klingt immer noch sehr überzeugend.
Ich werde noch ein bisschen drüber grübeln müssen...
Vielen Dank nochmal!
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juli, 2000 - 19:18: |
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Hi Cosine,
habe noch mal über mein Argument von oben (13. 7., 18:34) nachgedacht. Meine Zweifel, ob es denn schlüssig sei, rührten von der Überlegung, dass ja garnicht unbedingt Konvergenz in einer Umgebung der Null verlangt ist. Wenn du z. B.
x = Soo n=0anenx
nur für x ungefähr 0 möchtest, dann würde ja
ln t = Soo n=0antn
in der Nähe der 1, und nicht in Nähe der 0, ausreichen. Aber es gilt für die letzt genannte Reihe (wie auch für jede andere Potenzreihe):
Es gibt ein r >= 0 (der so genannte Konvergenzradius), sodass die Reihe für |t| < r konvergent und für |t| > r divergent ist. Also kann es leider mit deinem Ansatz doch nicht klappen.
Wie kamst du eigentlich bei dem Versuch
-EXP(1*X) + PI*PI/6*EXP(3*X) - PI^4/120*EXP(5*X) + PI^6/5040*EXP(7*X) - PI^8/362880*EXP(9*X) + PI^10/39916800*EXP(11*X) + ...
gerade auf die Pi-Potenzen?? |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 17:51: |
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Hi Zaph!
Danke für Deine nochmaligen Überlegungen zu meinem Problem.
Das mit den Pi-Potenzen ist relativ einfach:
Nachdem ich mit meinem oben gemachten Ansatz zu dem Problem kam, dass ich eine Reihe S an suche, die gegen 0 konvergiert, sodass aber trotzdem S nan gegen 1 konvergiert, habe ich zuerst einmal ganz einfach nach einer Reihe gesucht, die gegen 0 konvergiert. Auf Anhieb fiel mir nur die triviale Reihe 0+0+0+0+0+0+0+... ein, die aber unmöglich die Bedingung S nan=1 erfüllen konnte.
Und dann bin ich auf die Maclaurin-Reihe der Sinusfunktion gekommen. x-x^3/3+...
In diese habe ich dann einfach die erste Nullstelle Pi eingesetzt und bekam schon mal eine Reihe, die gegen 0 geht.
Dann habe ich probehalber diese Reihe mal mit n multipliziert und habe gesehen, dass eine gewisse Ähnlichkeit zur Cosinus-Reihe an der Stelle pi entsteht.
Also habe ich noch ein bisschen dranrumgefeilt, bis beide Bedingungen erfüllt waren (siehe 1.Beitrag)
Allerdings hört es da schon auf, d.h. S n2an konvergiert leider nicht gegen 0...
Soviel dazu
Vielen Dank nochmal.
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 19:16: |
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Hi Cosine, ich finde deine Ausgangsfragestellung noch höchst interessant.
Sei (an) eine Folge, sodass für jedes k = 0,1,2,... die Summe
bk = Soo n=0 an nk
existiert. Was für Eigenschaften weisen die Folgen (an) und (bk) auf? Welche Folgen (bk) können auftreten?
Weiß nicht, ob jemand das schon mal untersucht hat und ob es schwer ist. Vielleicht weiß das ja jemand anders. Falls nicht, erinnere dich in ein paar Jahren noch einmal an diese Frage zurück. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 23:50: |
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Hi Zaph!
Auch wenn ich meiner Ausgangsfragestellung noch keinen Schritt näher gekommen bin und ich auch keine Ahnung habe, wie ich das anstellen soll, finde ich sie auch noch interessant.
Das Problem mit dem "in ein paar Jahren" ist, dass ich mir momentan meinen guten Ideen, wenn mir mal welche kommen nicht richtig aufschreibe, sondern nur auf Schmierzettel schmiere. Oder ich schmiere sie halt hier ins Forum. Aber jedenfalls bezweifle ich, dass in 4,5 Jahren noch dran denke, aber wer weiß...?!?
Jedenfalls ist für an=1/n! oder 1/cn der Wert für bk immer 0. Wenn man außer 0 noch andere Zahlen für bk haben will, wird's schwieriger...
Aber 0 ist doch auch schon mal was...
gute Nacht!
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 20:04: |
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Hi Cosine, wie kann denn 0 rauskommen, wenn alle Summanden positiv sind?
Ob du dich in 4, 5 Jahren noch an dieses Problem erinnerst ...? Vielleicht lernst du ja irgendwann mal einen netten Trick kennen, der sich hier anwenden lässt. Und dann fällt dir die Fragestellung wieder ein...
So long, Z. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 21:14: |
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Hi Zaph!
Ich war wohl zu müde und habe irgendwie nur an die Folgen und nicht an die Reihen gedacht...
Natürlich kann da nicht 0 rauskommen. War wohl irgendwie zu spät...
Ich muss mal wieder auf'm Schlauch gesessen haben.
Ich werde in 4,5 Jahren nochmal drüber nachdenken.
Danke nochmal,
Ciao
Cosine |
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