| Autor |
Beitrag |
    
Anne
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 17:18: | 
|
Drei Vektoren
a=(1/0/0)
b=(2/4/1)
c=(-1/0/-1)
sind gegeben.
1) Beweise., daß a b c linear unabhängig sind.
2) Bestimme den Winkel zwischen a b und gebe
den winkel im Gradmaß und Bognemaß an.
3) Berechne b x c.
4) Bestimme den Winkel zwischen a und b x c,
b und b x c
und c und b x c
5) Berechne das volumen des Körpers, den a, b und c aufspannen.
Wie muß man die Vektoren a, b c verknüpfen, damit
das Volumen des durch die Vektoren aufgespannten Körpers ein positives Vorzeichen hat?
Kann sich das jemand vorstellen und anschaulich erklären.
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 19:06: |
|
Hallo Anne,
a=(1,0,0)
b=(2,4,1)
c=(-1,0,-1)
==========
1) Lineare Unabhängigkeit:
Man schreibt die 3 Vektoren als Spalten einer Matrix und reduziert diese:
1 2 -1 1 2 -1
0 4 0 reduziert: 0 4 0
0 1 -1 0 0 -1
Jede Spalte der reduzierten Matrix enthält einen Pivot: also
sind die drei Spaltenvektoren linear unabhängig.
=============================
2)
Winkel zwischen a und b:
aus der Definition des Skalarproduktes:
a.b = |a||b|cos(A)
kann man cos(A) berechnen.
cos(A)= a.b / (|a||b|)
a.b = 2
|a| = 1
|b| = Wurzel(21)
cos(A)=2/W(21)
Mit Taschenrechner A=1,11916... = 64°7'24"
==================
3) Vektorielles Produkt b x c
am Besten rechnet man dies mit der Determinante:
i j k
bxc = 2 4 1 = -4i+j+4k = (-4,1,4)
-1 0 -1
=========================
4) Winkel
analog wie unter 2) rechnen.
================
5) Volumen
wird durch den Betrag des Spatprodukts (oder tripel Skalerprodukt) bestimmt:
V=|a.(bxc)| =|(1,0,0).(-4,1,4)| = 4
Man kann dieses Volumen auch als Betrag folgender Determinante
ausdrücken:
1 0 0
2 4 1
-1 0 -1
=====================
Was "verknüpfen" von Vektoren bedeutet, weiß ich nicht.
Es ist mir auch nicht bekannt, dass Parallelepipede negatives Volumen haben können. |
|
