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Beitrag |
    
juli
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 16:24: | 
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hallo
folgendes problem steht an:
gesucht ist die gleichung derjenigen parabel, die die gerade g berührt und durch die punkte P und Q geht.
g: y=20x+24 P(-5|-4); Q(7.5|258.5)
die differentialrechnung resp. die 1. ableitung darf nicht verwendet werden.
gibt es da eine lösung? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 22:28: |
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Hi Juli,
Bei Deiner Formulierung der Aufgabe fehlt noch eine Angabe;
es muss erwähnt werden, dass die Achse der Parabel zur y-Achse
parallel ist; das ist nicht selbstverständlich
Wir wollen im folgenden annehmen, dass diese Forderung noch zusätzlich (stillschweigend ) im erwähnten Sinn gestellt ist
Ein Kegelschnitt (Ellipse,Hyperbel,Parabel) ist durch fünf Elemente (Punkte,Tangenten) bestimmt.
Im vorliegenden Fall handelt es sich a priori um eine Parabel .
Damit ist eine Bedingung vergeben: die unendlich ferne Gerade der
Ebene ist Tangente des Kegelschnitts.
Durch die Richtung der Parabelachse ist eine weitere Bedingung erschöpft:
die unendlich ferne Gerade berührt die Parabel im unendlich fernen Punkt
der y - Achse. Es bleiben somit noch drei Bedingungen übrig:
Die Parabel muss durch die beiden Punkte P und Q gehen und die
Gerade g berühren.
Darüber sollst Du Dir aber keine Sorgen machen.
Diese kommen früh genug; der rechnerische Aufwand zur Lösung
der Aufgabe ist ziemlich gross, besonders wenn bestimmte
Lösungswege a priori verschlossen sind
Die Aufgabe hat zwei Lösungen, was mich bei solchen
Kegelschnittaufgaben nicht erstaunt:
Wir nehmen die Resultate vorweg, bei Mathematikaufgaben darf man
das tun, bei Krimis sollte man davon absehen.
Resultat
1.Parabel: Gleichung: y = - 622 * x ^ 2 + 1576 * x + 23426
2. Parabel: Gleichung y = 624 * x ^ 2 - 1539 * x - 23299
Methode zur Lösung : Diskriminantenmethode
Wir schneiden gewisse solche Parabeln mit der Geraden g und fordern, dass die beiden Schnittpunkte zusammenfallen ,indem in einer quadratischen Gleichung die Diskriminante null gesetzt wird (Bedingung für Doppellösung)
Inzidierende Schnittpunkte bedeuten Berührung der Parabel und der Geraden g.
Es geht jetzt nur noch um die getreuliche Ausführung dieses Gedankens.
Dies sei noch aufgeschoben, aber nicht aufgehoben !
Mit freundlichen Grüßen
H,R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 09:07: |
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Hi Juli,
Eine Vorfrage: ist "Juli" Dein richtiger Name,
oder nennst Du Dich so, gewissermassen ad hoc,
weil Du diese Aufgabe am 1.Juli ins Board gestellt hast ?
Hier die versprochene Fortsetzung.
Als Gleichung der Parabel setzen wir an:
y = a * x ^ 2 + b * x + c
Die Parabel muss durch P ( -5 / - 4 ) gehen, daher:
- 4 = 25 a - 5 b + c (1)
Die Parabel muss durch Q ( 7.5 / 258.5 ) gehen, also:
258.5 = 56.25 a + 7.5 b + c (2)
Wir eliminieren c durch Subtraktion der beiden Gleichungen:
262.5 = 31.25 a+ 12.5 b oder ( Multiplikation mit 4/25 ) :
5a + 2b = 42 (3)
Wir schneiden die Parabel mit der Geraden g
(Gleichsetzung der y-Werte):
a x ^ 2 + bx + c = 20 x + 24 , geordnet nach Potenzen von x:
a x ^ 2 + ( b - 20 ) x + c - 24 = 0 (4)
Das ist eine quadratische Gleichung zur Berechnung
der x-Werte der Schnittpunkte
Für die Berührung von g mit der Parabel, das heisst
für die Forderung, dass g eine Parabeltangente ist,
verlangen wir, dass die Gleichung (4) eine Doppellösung habe.
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Diskriminante D der
Gleichung (4) null gesetzt wird.
Wir berechnen diese Diskriminante nach einer bekannten Formel
D = B^2 - 4AC = (b - 20 ) ^ 2 - 4a (c - 24 ) oder
D = b ^ 2 - 40 b + 400 - 4 a c + 96 a
Wir ersetzen gemäss Gleichung a durch b mit a = (42 - 2b) / 5
und erhalten für D = 0 nach Vereinfachung die Gleichung:
5 b ^ 2 - 392 b + 6032 - 168 c + 8 b c = 0 (5)
Aus (1) errechnen wir c und benützen noch (3) :
c = - 4 - 25 a + 5b = - 4 - 5 ( 42 -2 b ) + 5b = - 214 + 15 b
dies setzen wir in (5) ein und erhalten durch zusammenfassen
und ordnen die folgende quadratische Gleichung für b :
125 b ^ 2 - 4624 b + 41984 = 0 ; ihre Diskriminante ist
d = 4624 ^ 2 - 4 *125 * 41984 = 389376
wurzel(d) = 624 (ganzzahlig !) ; als Lösungen für b erhalten wir:
b1 = 1576 und b2 = - 1539.
Wir unterscheiden somit zwei Fälle
1.Fall
b1 = 1576 ; mit (3) : a1 = - 624 und mit (1) c1 = 23426
2.Fall
b2 = -1539 , a2 = 624 , c2 = - 23299.
Damit ist dieses kleine Monster gezähmt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
juli
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 12:46: |
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hi H.R. Moser
wie du richtig vermutest, ist "juli" mein "künstlername", korrespondierend mit dem monat, in welchem math-probleme entstehen.
besten dank für deinen lösungsvorschlag. nun habe ich bei einem kameraden noch eine weitere (richtige?) lösung entdeckt. ist diese lösung ebenfalls richtig?
y=2x^2+16x+26
liebe grüsse
juli |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 15:22: |
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Hi Juli
Besten Dank für Deine Rückmeldung; dein Künstlername
ist wirklich passend
Es werden in diesem Monat noch gewichtige Matheprobleme
anstehen, die wir aber hoffentlich bewältigen können.
Die von Dir angegebene Gleichung ist o.k.
Meine herzlichen Glückwünsche.
Ich hätte diese Lösung auch bekommen, wenn sich am Schluss
meiner Berechnungen nicht noch ein Rechenfehler
eingenistet hätte.
Den Schluss meiner Ausführungen gebe ich nochmals korrigiert durch:
Aus (1) errechnen wir c und benützen noch (3) :
c = - 4 - 25 a + 5b = - 4 - 5 ( 42 -2 b ) + 5b = - 214 + 15 b
dies setzen wir in (5) ein und erhalten durch zusammenfassen
und ordnen die folgende quadratische Gleichung für b :
125 b ^ 2 - 4624 b + 41984 = 0 ; ihre Diskriminante ist
d = 4624 ^ 2 - 4 *125 * 41984 = 389376
wurzel(d) = 624 (ganzzahlig !) ; als Lösungen für b erhalten wir:
b1 = 16 und b2 = 2624 / 125 = 20.992
Wir unterscheiden somit zwei Fälle
1.Fall
b1 = 16 ; mit (3) : a1 = 2 und mit (1) : c1 = 26
2.Fall
b2 = 20.992 , a2 = 0.0032 , c2 = 100.88
Damit ist der Fehler hoffentlich behoben !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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