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Doris
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 09:34: | 
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Hallo Leute!
mathe ist nicht unbedint mein fach, wo ich den totalen durchblick habe, deswegen habe ich auch große probleme beim lösen folgender aufgaben.für den einen erscheinen sie leicht, für den anderen...
der graph einer ganzrationalen funktion 4.grades ist achsensymmetrisch zur y-achse und hat in A(1;?) die gerade mit der gleichung y=12x-5 zur tangente.gesucht ist die funktion, wenn für x=2 a, ein minimum und b, ein maximum vorliegt.
wie packt man die aufgabe an?ich habe ehrlich gesagt keine ahnung.
weiterhin habe ich noch schwierigkeiten bei dieser aufgabe.für den graphen einer ganzrationalen Funktion vierten grades ist der punkt P(1;-1) ein Wendepunkt und der Ursprung terrassenpunkt.nun soll man die wertemenge bestimmen.W=R??!oder wie macht man das?
viele Grüße,
Doris |
Kai
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 21:13: |
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Folgende Schreibweise verstehe ich nicht:
"wenn für x=2 a,ein minimum und b, ein maximum vorliegt"
Ansonsten ist das nicht so schwer.
Nach der kleinen Unklarheit können wir bestimmt helfen.
Kai |
ari
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 12:22: |
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Hí Doris, was ist schon leicht?
Die ganz.-rat. Funktion f hat die Form
f(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e und a,b,c,d,e sind gesucht.
f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, damit verschwinden die ungeraden Potenzen von x, also b=d=0. f vereinfacht sich zu
f(x) = a*x^4 + c*x^2 + e und a,c,e sind zu bestimmen.
Die Gerade y=12x-5 hat in x=1 den Wert y=12*1-5=7. Die Funktion f geht durch diesen Punkt A(1;7), d.h.
f(1) = 7 = a + c + e.....................(I)
Zudem ist die Gerade y=12x-5 Tangente an f im Punkt A(1;7). Die Gerade hat die Steigung 12 und die Funktion f hat im Punkt A(1;7) eben dieselbe Steigung.
f ' (x) = 4*a*x^3 + 2*c*x
f ' (1) = 12 = 4*a + 2*c................ | : 2
6 = 2*a + c...............................(II)
Forderung 1) bei x=2 liegt ein MINIMUM vor, d.h. f ' (2) = 0 UND f '' (2) > 0
f ' (2) = 0
4*a*2^3 + 2*c*2 = 0
32*a + 4*c = 0
8*a + c = 0
c = -8*a .............................(III)
c/a = -8 (brauchen wir gleich)
Zu f '' (2) > 0 :
f '' (x) = 12*a*x^2 + 2*c
f '' (2) = 48*a + 2*c > 0
24*a + c > 0
c > -24*a
c/a > -24
Das ist erfüllt, denn c/a = -8 > -24
Forderung 2) bei x=2 liegt ein MAXIMUM vor, d.h. f ' (2) = 0 (wie oben) UND f '' (2) < 0. Das heißt
c = -8*a bzw. c/a = -8 wie oben UND c/a < -24 (die Rechnung geht genau wie oben, Du mußt nur > durch < ersetzen). c/a < -24 heißt, daß c/a auf dem Zahlenstrahl LINKS von -24 liegen muß, und das widerspricht c/a=-8, das RECHTS von -24 liegt. Also kann keinesfalls ein Maximum vorliegen.
Bei x=2 kann also nur ein Minimum vorliegen. Das bedeutet, wie gesehen:
c = -8*a .............................(III)
Zusammen mit
7 = a + c + e.........................(I)
6 = 2*a + c...........................(II)
hat man 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Setze (III) in (II) ein : 6 = 2*a - 8*a = -6*a
a = - 6/6
a = -1
Aus (III) folgt sofort c = 8
Aus (I) dann 7 = -1 + 8 + e = 7 + e
e = 0
Also ist für den fall, daß bei x=2 ein MINIMUM vorliegt, die Funktion f gleich
f(x) = - x^4 + 8*x^2
Du fragst, wie man solche Aufgaben anpackt. Es ist so wie hier auch bei ähnlichen Aufgaben. Du mußt immer die unbekannten Koeffizienten a,b,c, ... bestimmen, was auf das Lösen eines Gleichungssystems mit eben diesen Unbekannten a,b,c ... hinausläuft. Du mußt also ebensoviele Gleichungen mit den a,b,c ... aufstellen, wie Du zu suchende Koeffizienten a,b,c, ... hast. Manche Angaben kannst Du mehrfach ausbeuten. So liefert die Forderung, daß eine Gerade y=12x-5 im Punkt x=2 zugleich Tangente an f ist, ZWEI Gleichungen: eine dadurch, daß in x=2 die Gerade und f den gleichen Wert 7 haben (das war (I)). Die andere dadurch, daß f in x=2 dieselbe Steigung wie die Gerade hat (das war (II)).
Ciao. |
Doris
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 14:17: |
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Danke ari, du hast mir sehr geholfen!!!
tschüß, Doris |
Doris
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 16:19: |
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hallo, ich hätte doch noch ein frage, warum löst man 8*a+c=0 so komisch nach c/a=-8 auf? man will herausfinde, ob ein minimum oder maximum vorliegt, kann das sein?würde man auch weiterkommen, wenn man nicht so auflösen würde?
wann liegt bei der zweiten aufgabe ein terrassenpunkt vor? wen f"(x0) ebenfalls 0 ist?!? oder ist es f´´´(xo)
danke, doris |
ari
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 11:14: |
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Hi Doris, nachdem ich meine Antwort abgeschickt hatte, habe ich gemerkt, daß mir ein FEHLER unterlaufen ist. Genau darauf bezieht sich auch Deine Frage.
Also: die 3 Gleichungen (I), (II), (III) bleiben korrekt. Ebenso die Lösungen a=-1, c=8, e=0 und damit die Funktion f.
Bleibt die Frage, ob bei x=2 ein Maximum oder Minimum vorliegt.
Mein Fehler: ich hatte aus c>-24*a gefolgert: c/a>-24. Aber a=-1, und wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl (-1) durchmultipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, aus > wird <. Sorry und Du hast recht, viel zu kompliziert, es geht auch einfacher. Und zwar so:
x=2 ist Minimum, wenn f ' (2) = 0 und f '' (2) > 0
x=2 ist Maximum, wenn f ' (2) = 0 und f '' (2) < 0
Zu f '' (2) > 0 (Minimum):
f '' (x) = 12*a*x^2 + 2*c
f '' (2) = 48*a + 2*c > 0
24*a + c > 0
c > -24*a (das hatten wir schon)
Kurz: c > -24*a ===> f hat bei x=2 ein MINIMUM
Genauso: c < -24*a ===> f hat bei x=2 ein MAXIMUM
WIR BRAUCHEN NUR EINZUSETZEN (a=-1, c=8)
-24*a = (-24)*(-1) = +24 > 8 = c
-24*a > c, also von rechts nach links gelesen
c < -24*a ===> f(2) ist MAXIMUM
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So, ich denk das wars. Ciao. |
ari
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 11:35: |
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Hi Doris, zu Aufgabe 2) leider nur ein Ansatz, denn ich weiß überhaupt nicht, was ein Terrassenpunkt ist. Aber vielleicht helfen Dir ja schon diese Hinweise.
f(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
f ' (x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f '' (x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
f geht durch P(1;-1) ===>
f(1) = -1 = a + b + c + d + e..............(I)
f hat in P(1;-1) einen Wendepunkt ===> f '' (1) = 0 ===>
12a + 6b + 2c = 0................| :2
6a + 3b + c = 0............................(II)
Ursprung ist "Terrassenpunkt" heißt zumindest: f geht durch den Ursprung, f(0) = 0 ===>
0 = f(0) = a*0 + b*0 + c*0 + d*0 + e = e
e = 0 .....................................(III)
Fehlen halt noch 2 Gleichungen. Ciao. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 12:35: |
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Hallo Doris,
2. Aufgabe:
Ich nehme mal an, dass ein Terrassenpunkt ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente ist.
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f(x)=ax4+bx³+cx²+dx+e
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx
f"(x)=12ax²+6bx +2c
Bedingungen:
Wendepunkt bei (1;-1):
f(1)=-1
f"(1)=0
Terrassenpunkt bei (0;0):
f(0)=0
f'(0)=0
f"(0)=0
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Dies sind 5 Gleichungen für die 5 Unbekannten a,b,c,d,e
Ergebnis:
a=1
b=-2
c=d=e=0
Die gesuchte Funktion also: f(x)=x4-2x³
Nun bestimmen wir noch das Minimum:
f'(x)=0
4x³-6x²=0
x=0 und x=3/2
Das absolute Minimum liegt bei (3/2; -27/16)
Nach oben ist die Funktion unbeschränkt.
Der Definitionsbereich (alle Werte die x annehmen kann) ist R.
Der Wertebereich (alle Werte, die die Funktion annehmen kann) ist
das Intervall [-27/16; oo).
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