| Autor |
Beitrag |
    
Karsten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 09:24: | 
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Grüß euch.
Ich komme mit folgenden Aufgaben nicht mehr weiter.
Von einer ganzrationalen Funktion f ist bekannt, dass f(2)=3 und f(-2)=3.Außerdem ist f''(x)=12x^2-4.Bestimme nun f(x)!!
Gesucht wird eine ganzrationale Funktion 4.Grades, deren Graph folgende Bedingungen erfüllt:
a, Extrempunkt E(0;0), Wendepunkt W(2;3).Die Wendetangente in W ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y=2x. (im Buch steht dahinter Vorsicht!)
b,P(0;4) liegt auf dem Graphen, A(2;0)und B(-2;0) sind lokale Extrempunkte.Bestimme alle lokalen Extrempunkte!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Karsten |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 11:45: |
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Lösung zu Aufgabe 1:
Ansatz:
f(x)=x^-4 + bx
f`(x)=-4x^-3 + b oder f´(x)= -4/x^3 + b
f``(x)=12x^-2
Einsetzen von 2:
f(2)= 2^-4 + b2 =3
Lösung:
b=47/32
f(x)=x^-4+47/32x
Mach auch hier die Gegenprobe.
Mach die Gegenprobe, indem Du die 2 für x einsetzt, es muß dann die 3 heraus kommen.
f(-2) = -2^-4 + b(-2)=3
b=-49/32
f(x)=x^-4 -49/32x |
Karsten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 10:49: |
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hallo, hier ist noch einmal karsten.
sorry, aber ich glaube, die aufgabe ist von anonym falsch gelöst worden, da die zweite ableitung anders lautet, oder?
karsten |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 15:27: |
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Hallo Karsten,
Erste Aufgabe:
f"(x)=12x²-4
Wir integrieren:
f'(x)=4x³-4x+A
und nochmal integrieren:
f(x)=x4-2x²+Ax+B
Nun müssen wir nur noch die Konstanten A und B bestimmen:
für x=2 gilt:
f(2)=3=16-8+2A+B
für x=-2 gilt:
f(-2)=3=16-8-2A+B
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich:
A=-5 und B=0
damit wird: f(x)=x4-2x²-5
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 18:25: |
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Hi Karsten
Die zweite Aufgabe ist offenbar die pièce de résistance
in Deiner Aufgabensammlung und zwar mit Recht !
Gehen wir der Reihe nach
Ansatz : f(x) =ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e.
Wegen f(0) = 0 und f ' (x) = 0 folgt sofort e = d = 0
Wir leiten f(x) = a x ^ 4 + b x ^ 3 + c x ^ 2 zweimal ab:
f ' ( x ) = 4 a x ^3 + 3 b x ^ 2 + 2 c x
f '' ( x ) = 12 a x ^ 2 + 6 b x + 2 c
Die restlichen Bedingungen sind:
f ( 2 ) = 3 , also 3 = 16 a + 8 b + 4 c
f '' ( 2 ) = 0 , also 0 = 48 a + 12 b + 2 c
f ' ( 2 ) = 2 , also 2 = 32 a + 12 b + 4 c
Die Lösungen des Gleichungssystems sind :
a = 1 / 16 , b = - 1 / 2 , c = 3 / 2
Somit lautet die Funktionsgleichung :
f( x ) = 1 / 16 * x ^ 4 - 1 / 2 * x ^ 3 + 3 / 2 * x ^ 2
mit folgenden Ableitungen:
f ' ( x ) = 1 / 4 * x ^ 3 - 3 / 2 * x ^ 2 + 3 * x und
f '' ( x ) = 3 / 4 * x ^ 2 - 3 * x + 3 = 3 / 4* [ x^2 - 4*x + 4 ]
= 3 / 4 * ( x - 2 ) ^ 2
Kommentar
1. Bei x = 0 liegt ein Minimum vor, weil f '' (0 ) > 0 gilt
2. Achtung:
Bei x = 2 wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen nicht;
f'' ( x ) ist kurz vor und nach x = 2 positiv
Es liegt somit bei x = 2 kein Wendepunkt vor, sondern eine
sogenannte Flachstelle.
Das lässt sich beim besten Willen nicht ändern
Die Aufgabe ist, so wie sie gestellt ist, gar nicht lösbar !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juli, 2000 - 20:17: |
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Hallo Karsten,
Nach dem gleichen Schema löst man auch die letzte Aufgabe:
f(x)=ax4+bx³+cx²+dx+e
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
Bedingungen:
f(0)=4
f(2)=0
f(-2)=0
f'(2)=0
f'(-2)=0
=========
Dies sind 5 Bestimmungsgleichungen für a,b,c,d,e
Ergebnis: a=1/4
b=0
c=-2
d=0
e=4
f(x)=x4/4-2x²
f'(x)=x³-4x
Extrema: f'(x)=x³-4x=0
x=0
x=±2
=====
Alle lokalen Extrempunkte sind: A, B, P
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