| Autor |
Beitrag |
    
Christoph (Taylor)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 16:01: | 
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Hallo Leute,
Gesucht sind die allgemeinen Lösungen folgender homogenen DGL's
a)y'''-3*y''+2*y'=0
b)y''''-2*y'''+(3/4)*y''+(7/4)*y'-(1/2)*y=0
c)y''''-4*y'''+14*y''-20*y'+25*y=0
Vielen Dank schon im Vorraus.
Ich bin sicher, das Ihr mir helfen könnt.
Ich bitte um ausführlichen Lösungsweg.
Servus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 00:02: |
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Hi Christoph,
Vorerst ein kleines Sammelsurium aus der Theorie als Vorspann
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Gegeben sei die lineare DGl. mit konstanten Koeffizienten
vierter Ordnung ::
y''''(x) + a1 y'''(x) + a2 y''(x) + a3 y'(x) + a4 y(x) = 0
Dazu gehört die charakteristische Gleichung
r ^ 4 + a1* r ^ 3 + a 2 * r ^2 + a 3 * r + a 4 = 0
Die 4 Lösungen sind : r1, r2 , r3 , r4
Zu jeder dieser Lösungen r gehört eine Lösung .e ^ (r*x) der DGl.
Die komplexen Lösungen ordnen sich zu Paaren
u + iv und u - iv.
Zu jedem solchen Paar gehören die Lösungen
e ^ ( u*x ) * cos( v*x ) und e ^ ( u*x ) * sin ( v*x ) der DGl.
Hat die charakteristische Gleichung jedoch mehrfache Lösungen,
wird das Verfahren modifiziert:
Ist r eine m-fache Lösung der charakteristischen Gleichung,
so sind e ^ (r*x) , x * e ^ (r*x), x^2 * e ^ (r*x)... .. x^(m-1)*e ^ (r*x)
Lösungen der DGl.
Ist r = u + iv eine komplexe m-fache Lösung, so ist auch
die konjugiert komplexe Zahl u - i v eine m-fache Lösung.
Dazu gehören die folgenden 2m Lösungen der DGl:
x ^ j * e ^ (u*x) * cos(v*x) ; x ^ j * e ^ (ux) * sin (vx)
[ j = 0,1,2....,m-1]
Die angegebenen Lösungen bilden je ein Fundamentalsystem
und werden mit Integrationskonstanten Ck zur allgemeinen Lösung
linear kombiniert.
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Und jetzt zu Deinen Beispielen
1.Beispiel
charakteristische Gleichung: r^3 - 3r^2 + 2r = 0
Lösungen: r1 = 0 , r2 = 1 , r3 = 2
Allgemeine Lösung:
Y = C1 + C2 * e ^ x + C3 * e ^ (2*x)
2.Beispiel
charakteristische Gleichung (nach der Entfernung der Brüche)
4 * r ^ 3 - 8 * r ^ 3 + 3 * r ^ 2 + 7 * r - 2 = 0:
Lösungen (nur Näherungen):
r1 = 0.27 , r2 = - 0.80,
r3 = 1.28 + i * 0.85 , r4 = 1.28 - i * 0.85
Allgemeine Lösung:
Y = C1* e ^ (0.2*x) + C2 * e^ ( - 0.8*x) +
e ^ (1.28*x) * [ C3 * cos(0.85*x) + C4 * sin( 0.85*x) ]
3.Beispiel
charakteristische Gleichung:
r ^ 4 - 4 * r ^ 3 + 14 * r ^ 2 - 20 * r + 25 = 0
Lösungen r 1 = r 2 = 1 + i 2 (Doppellösung)
r 3 = r 4 = 1 - i 2 (Doppellösung)
Allgemeine Lösung der DGL.
Y = e ^ x * [ C1 * cos (2x ) + C2 * sin(2x) ] +
x * e ^ x * [ C3 * cos(2*x) + C4 * sin(2*x)]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Christoph (Taylor)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 08:18: |
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Hallo Mathegenie,
Es ist schon sensationell mit welch einleuchtender
Weise Du jegliche Aufgaben dieser Art ohne Probleme löst. Vielen Dank - du hast mich einen
weiten Schritt nach vorne gebracht!
Servus und eine schönes WE
Taylor |
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