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Andreas
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 08:44: |
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Hy Ich habe keine Ahnung von Taylor-Reihen. Es soll etwas mit Näherungsverfahren zu tun haben. Diese Taylor-Reihe soll entwickelt werden, um x0 = 1 für f(x). f(x) = x / (1-2x) Frage: Nach welchem Glied kann die Reihe abgebrochen werden, wenn man bei x = 1,5 einen Fehler von 0,1 % in Kauf nimmt. |
Bodo
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 23:12: |
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1) Onlinemathebuch: http://www.zahlreich.de/mathebuch 2) ähnliche Aufgaben Schau Dir vielleicht mal ein paar davon an und versuch dann Deine Fragestellung zu lösen. Wenn Du Deine Ergebnisse aufschreibst, können wir es ja nochmal kontrollieren. Bodo |
Andreas
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 07:32: |
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Hallo Bodo und andere Danke für den Hinweis. Würdest du mir die Aufgabe exemplarisch mit Erläuterungen lösen wollen. Ich weiß, daß dir die Taylor-Reihe whrscheinlich schon bis zum Halse herushängt. Danke. |
Andreas
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 07:07: |
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Hallo, für die 1 Ableitung habe ich 1/(1-2x)2 ´´ ) -2/(1-2x)3 ´´´)6/(1-2x)4 ´´´´)-24/(1-2x)5 ´´´´´)120/(1-2x)6 Sind die richtig? Ich habe dann als Ergebnis -1 plus alterniernd -x+1 und +x-1 Ist das Ergebnis eins oder muß ich eine allgemeine Formel entwickeln. WEißt du da Bescheid Bodo? Letzte Frage: Kannst du die o.g Frage , nach welchem Glied abgebrochen werden soll, beantworten. |
BigBrother
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juli, 2000 - 21:00: |
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Sieht gut aus. Die Taylorreihe läßt man gar nicht abbrechen. Allerdings kann man sie abbrechen lassen, wenn man nur einen Term mit einer gewissen Genauigkeit benötigt. BigBrother |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 17:57: |
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Hi Andreas, Deine Aufgabe vom 30.Juni 2000 darf so nicht im Raume stehen bleiben; sie muss neu aufgerollt und richtig gelöst werden Die aufeinanderfolgenden Ableitungen der gegebenen Funktion lassen sich mit der Quotientenregel leicht ermitteln: Wir bekommen: f ' ( x) = 1 / ( -1 + 2 x ) ^ 2 f '' (x) = - 4 / ( - 1 + 2 x ) ^ 3 f ''' (x) = 24 / ( - 1 + 2 x ) ^ 4 Die k-te Ableitung lautet fk (x) = ( - 1 ) ^ (k-1) * 2 ^ (k-1) * k ! / [( - 1 + 2 x ) ^ ( k + 1 ) ] Für die Taylor-Formel benötigen wir diese Ableitungen an der Stelle x = 1. Es verbleiben bei den obigen Ableitungen bloss die Zähler, also: f ' (1) = 1 , f '' (1) = - 4 , f ''' (1) = 24 k-te Ableitung fk (1) = (- 1 ) ^ ( k - 1 ) * 2 ^ (k - 1) * k ! Das allgemeine Glied bei der Taylorentwicklung lautete daher a k = fk (1) / k! * ( x - 1 ) ^ k = = ( - 1 ) ^ ( k - 1 ) * 2 ^ (k - 1) * ( x - 1 ) ^ k , k = 0 , 1, 2 , 3, ... Die gesuchte Taylorentwicklung lautet somit: f(x) = - 1 + ( x -1 ) - 2 * ( x -1 ) ^ 2 + 4 * ( x -1 ) ^ 3 - 8 * ( x - 1 ) ^ 4 + + 16 * ( x - 1 ) ^ 5 - 32 * ( x - 1 ) ^ 6 + 64 * ( x - 1 ) ^ 7 - ..... Achtung: Wie wir noch nachweisen werden, konvergiert die Reihe nur für x-Werte zwischen x = 1 / 2 und x =3 / 2 , die Werte x = 1 / 2 und x = 3 / 2 selbst gehören nicht zum Konvergenzbereich Die Darstellung von f(x) als eine unendlichen Reihe gelingt auch ohne Bezug auf die Taylorreihe, wenn eine geeignete unendliche geometrische Reihe benützt wird. Man erhält dasselbe Resultat (hoffentlich !) Hilfreich ist dabei die Transformation u = x - 1 , also x = u + 1. Wir erhalten der Reihe nach: f = ( u + 1 ) / (1- 2u - 2 ) = - ( u + 1 ) / ( 1 + 2 u ) und recht raffiniert: f = - [(1 + 2 u) / (1 + 2 u ) - u / (1 + 2u) ] = - 1 + u / ( 1 + 2 u) ; den letzten Bruch fass en wir auf als ein fertige Summe einer unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a = u und dem Quotient q = - 2 u (diese Reihe setzen wir in eine geschweifte Klammer) Es kommt: f = - 1 + { u - 2 * u ^ 2 + 4 * u ^ 3 - 8 * u ^ 4 - 16 * u ^ 5 + ... } ersetzt man u durch x - 1 , so erhalten wir wiederum: f(x) = - 1 + x - 1 - 2 * ( x - 1) ^ 2 + 4 * ( x - 1 ) ^ 3 - ... Die unendliche geometrische Reihe konvergiert für u-Werte zwischen -1 und 1, exklusive diese Werte selbst, d.h. wie schon vermerkt, für x-Werte zwischen 0.5 und 1.5 exklusive . Setz man nun, wie in der Zusatzaufgabe verlangt, für x den Zahlenwert 1,5 ein , so kann f(1.5) als - 0.75 bestimmt werden, die aus der Reihe berechneten "Näherungswerte " sind abwechselnd minus 1 und minus 0.5 Die Zusatzaufgabe lässt sich so, wie sie gestellt ist, nicht lösen Ich würde mit dem Aufgabensteller Rücksprache nehmen und ihn auf diese Problematik aufmerksam machen. Hoffentlich ist einiges klar geworden ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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