Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Taylor-Reihe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Taylor-Reihe « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Andreas
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 08:44:   Beitrag drucken

Hy


Ich habe keine Ahnung von Taylor-Reihen. Es soll
etwas mit Näherungsverfahren zu tun haben.

Diese Taylor-Reihe soll entwickelt werden, um

x0 = 1 für f(x).


f(x) = x / (1-2x)


Frage: Nach welchem Glied kann die Reihe abgebrochen werden, wenn man bei x = 1,5 einen
Fehler von 0,1 % in Kauf nimmt.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Bodo
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 23:12:   Beitrag drucken

1) Onlinemathebuch: http://www.zahlreich.de/mathebuch
2) ähnliche Aufgaben

Schau Dir vielleicht mal ein paar davon an und versuch dann Deine Fragestellung zu lösen. Wenn Du Deine Ergebnisse aufschreibst, können wir es ja nochmal kontrollieren.

Bodo
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Andreas
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 07:32:   Beitrag drucken

Hallo Bodo und andere

Danke für den Hinweis.

Würdest du mir die Aufgabe exemplarisch mit
Erläuterungen lösen wollen.

Ich weiß, daß dir die Taylor-Reihe whrscheinlich schon bis zum Halse herushängt.

Danke.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Andreas
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 07:07:   Beitrag drucken

Hallo,

für die 1 Ableitung habe ich

1/(1-2x)2

´´ ) -2/(1-2x)3

´´´)6/(1-2x)4

´´´´)-24/(1-2x)5

´´´´´)120/(1-2x)6 Sind die richtig?


Ich habe dann als Ergebnis -1 plus alterniernd

-x+1 und +x-1


Ist das Ergebnis eins

oder muß ich eine allgemeine Formel entwickeln.

WEißt du da Bescheid Bodo?


Letzte Frage: Kannst du die o.g Frage ,

nach welchem Glied abgebrochen werden soll,
beantworten.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

BigBrother
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juli, 2000 - 21:00:   Beitrag drucken

Sieht gut aus.
Die Taylorreihe läßt man gar nicht abbrechen.
Allerdings kann man sie abbrechen lassen, wenn man nur einen Term mit einer gewissen Genauigkeit benötigt.

BigBrother
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 17:57:   Beitrag drucken

Hi Andreas,

Deine Aufgabe vom 30.Juni 2000 darf so nicht im Raume stehen bleiben;
sie muss neu aufgerollt und richtig gelöst werden

Die aufeinanderfolgenden Ableitungen der gegebenen Funktion lassen sich
mit der Quotientenregel leicht ermitteln:
Wir bekommen:
f ' ( x) = 1 / ( -1 + 2 x ) ^ 2
f '' (x) = - 4 / ( - 1 + 2 x ) ^ 3
f ''' (x) = 24 / ( - 1 + 2 x ) ^ 4
Die k-te Ableitung lautet
fk (x) = ( - 1 ) ^ (k-1) * 2 ^ (k-1) * k ! / [( - 1 + 2 x ) ^ ( k + 1 ) ]
Für die Taylor-Formel benötigen wir diese Ableitungen an der Stelle x = 1.
Es verbleiben bei den obigen Ableitungen bloss die Zähler, also:
f ' (1) = 1 , f '' (1) = - 4 , f ''' (1) = 24
k-te Ableitung fk (1) = (- 1 ) ^ ( k - 1 ) * 2 ^ (k - 1) * k !
Das allgemeine Glied bei der Taylorentwicklung lautete daher
a k = fk (1) / k! * ( x - 1 ) ^ k =
= ( - 1 ) ^ ( k - 1 ) * 2 ^ (k - 1) * ( x - 1 ) ^ k , k = 0 , 1, 2 , 3, ...

Die gesuchte Taylorentwicklung lautet somit:
f(x) = - 1 + ( x -1 ) - 2 * ( x -1 ) ^ 2 + 4 * ( x -1 ) ^ 3 - 8 * ( x - 1 ) ^ 4 +
+ 16 * ( x - 1 ) ^ 5 - 32 * ( x - 1 ) ^ 6 + 64 * ( x - 1 ) ^ 7 - .....

Achtung: Wie wir noch nachweisen werden, konvergiert die Reihe nur
für x-Werte zwischen x = 1 / 2 und x =3 / 2 ,
die Werte x = 1 / 2 und x = 3 / 2 selbst gehören nicht zum
Konvergenzbereich

Die Darstellung von f(x) als eine unendlichen Reihe gelingt auch
ohne Bezug auf die Taylorreihe, wenn eine geeignete unendliche
geometrische Reihe benützt wird.
Man erhält dasselbe Resultat (hoffentlich !)
Hilfreich ist dabei die Transformation u = x - 1 , also x = u + 1.
Wir erhalten der Reihe nach:
f = ( u + 1 ) / (1- 2u - 2 ) = - ( u + 1 ) / ( 1 + 2 u ) und recht raffiniert:
f = - [(1 + 2 u) / (1 + 2 u ) - u / (1 + 2u) ] = - 1 + u / ( 1 + 2 u) ;
den letzten Bruch fass en wir auf als ein fertige Summe einer
unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied
a = u und dem Quotient q = - 2 u
(diese Reihe setzen wir in eine geschweifte Klammer)
Es kommt:
f = - 1 + { u - 2 * u ^ 2 + 4 * u ^ 3 - 8 * u ^ 4 - 16 * u ^ 5 + ... }
ersetzt man u durch x - 1 , so erhalten wir wiederum:
f(x) = - 1 + x - 1 - 2 * ( x - 1) ^ 2 + 4 * ( x - 1 ) ^ 3 - ...

Die unendliche geometrische Reihe konvergiert für u-Werte
zwischen -1 und 1, exklusive diese Werte selbst, d.h. wie schon
vermerkt, für x-Werte zwischen 0.5 und 1.5 exklusive .
Setz man nun, wie in der Zusatzaufgabe verlangt,
für x den Zahlenwert 1,5 ein , so kann f(1.5) als - 0.75 bestimmt
werden, die aus der Reihe berechneten "Näherungswerte "
sind abwechselnd minus 1 und minus 0.5

Die Zusatzaufgabe lässt sich so, wie sie gestellt ist, nicht lösen
Ich würde mit dem Aufgabensteller Rücksprache nehmen
und ihn auf diese Problematik aufmerksam machen.

Hoffentlich ist einiges klar geworden !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page