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Beitrag |
    
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 08:39: | 
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Hallo.
Ich muß folgendes Gleichungsystem (nur) mit dem
Cramerschen Verfahren lösen.
x1+2x2-4x3 = 4
2x1+6x2-12x3-x4 = 3
x1-2x3-x4 = 0
3x1-10x2+63-x4 = 3 |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 09:37: |
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Die letzte Gleichung enthält einen Tippfehler. Den solltest du korrigieren. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 10:07: |
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Die letzte Gleichung lautet :
3x1-10x2+6x3-x4 = 3 |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 11:55: |
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Hallo Fabian,
Die Cramer Methode ist für numerische Auswertung von Gleichungssystemen völlig ungeeignet, weil der Rechenaufwand mit steigender Anzahl von Variablen enorm anwächst.
4 Variable ist schon mühselig.
Ich habe daher die Determinanten mit einem Computer gerechnet.
Zuerst berechnen wir die Determinante der Koeffizientenmatrix:
1 2 -4 0
d= 2 6 -12 -1 = -20
1 0 -2 -1
3 -10 6 -1
Nun ersetzen wir jeweils die erste, zweite, dritte und
vierte Spalte durch den Konstantenvektor:
4 2 -4 0
d1= 3 6 -12 -1 = -124
0 0 -2 -1
3 -10 6 -1
1 4 -4 0
d2= 2 3 -12 -1 = -46
1 0 -2 -1
3 3 6 -1
1 2 4 0
d3= 2 6 3 -1 = -34
1 0 0 -1
3 -10 3 -1
1 2 -4 4
d4= 2 6 -12 3 = -56
1 0 -2 0
3 -10 6 3
Und somit ist:
x1= d1/d = 31/5
x2= d2/d = 23/10
x3= d3/d = 17/10
x4= d4/d = 14/5
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Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 12:18: |
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Hallo Fern
ich brauches es aber unbedingt mit dem Cramerschen Verfahren, da wahrscheinlich eine solche Aufgabe als Klausur vorkommen wird, eventuell etwas einfacher als die o.g.
Wenn du die Aufgabe mit Teilschritten und einigen Erklärungen mir nahebringst wäre mir mehr als geholfen.
Erstmal danke für die Lösung.
Übrigens, wie nennt sich das Computer-Programm, ist es käuflich zu erwerben? |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 12:21: |
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Wie berechnet man die Determinante der Koeffizienten matrix, also hier = -20 |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 12:55: |
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Hallo Fabian,
Für die Berechnung von n-Reihigen Determinanten exsistieren keine Formeln.
Man eermittelt sie mit den Laplaceschen Entwicklungssatz.
Ist dir dieser Satz bekannt?
Ciao
Niels |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 12:59: |
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LAplace ist mir nur von der Statistik bekannt. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 19:17: |
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Hallo Fabian,
Das von mir gezeigte Verfahren ist das CRAMER Verfahren!
Ich zeige dir jetzt, wie man eine 4-reihige Determinante in 3-reihige Determinanten auflöst:
Z.B. für die Determinante d:
1 2 -4 0
d= 2 6 -12 -1 = wir entwickeln nach der 1. Reihe:
1 0 -2 -1
3 -10 6 -1
6 -12 -1 2 -12 -1 2 6 -1
d= 1* 0 -2 -1 -2* 1 -2 -1 -4* 1 0 -1
-10 6 -1 3 6 -1 3 -10 -1
Ich hoffe, dass du 3-reihige Determinanten kannst,
dies ergibt:
d= 1* (-52) -2*28 -4*(-22) = -20 wie vorher.
Auswerten von Determinanten kann man schon mit geeigneten Taschenrechnern erreichen. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 07:04: |
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Hallo Fern,
welches ist denn das geeignetere Verfahren?
würdest du mir noch das 3 reihige erläutern.
ich kann mich erst heute nachmittag mit der Materie beschäftigen.
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 10:38: |
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Hallo Fabian,
Also es wundert mich schon ein wenig, dass du dich mit 4-reihigen Determinanten abgibst, ohne zuvor 3-reihige zu beherrschen.
Zum numerischen Lösen von Gleichungssystemen eignet sich am Besten der Gaußsche Algorithmus, aber diesen zu erklären, würde wohl zu weit führen.
Auch die Substitutionsmethode führt manchmal rasch zur Lösung.
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Ich versuche mal ein Schema (es gibt verschiedene) zur numerischen Auswertung einer 3x3 Determinante an einem Beispiel zu erklären:
Nehmen wir die Determinante:
6 -12 -1
d = 0 -2 -1
-10 6 -1
Wie bei 4-reihigen Determinanten könnte man nun nach einer Zeile
oder Spalte entwickeln und erhielte 2-reihige Determinanten.
Es geht aber auch mit folgendem Schema:
Man schreibt die Determinante und hängt rechts davon nochmals die
ersten 2 Spalten dran.
Nun multipliziert man die Elemente "diagonal"
von links oben nach rechts unten : blaue Zahlen
von links unten nach rechts oben : rote Zahlen
Blaue Zahlen addiert: 12-120+0 = -108
Rote Zahlen addiert: -20-36+0 = -56
Blaue Summe - rote Summe: -108 -(-56)= -52
Dies ist der Wert der Determinante.
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 10:42: |
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Ja, das mit dem Schema scheint nicht geklappt zu haben.
Ich erhalte beim Senden immer eine "Error message"
Tut mir leid.
Vielleicht funktioniert es später wieder normal. |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 16:07: |
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Hi Fern,
Nur zur Info:
Du bist nicht der einzige, der beim senden von Nachrichten Probleme hat. Ich bekomme auch beim senden von Nachrichten eine"Internal server Error" Meldung. Darum sollte sich mal die ZahlReich-Technik kümmern!
Ciao
Niels |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juli, 2000 - 12:45: |
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Hallo Fabian,
Das Einfügen von Zeichnungen scheint wieder zu funktionieren; ich versuche es also nochmals:
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Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 07:17: |
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Hallo Fern , kannst du mal sagen, wie du da oben entwickelst.
Ich komme mit den davor gesetzten Faktoren( die
Zahlen 1 -2 und -4 nicht klar.
Insbesondere die Vorzeichen , wie kommen die zustande .
Bin ich zu dumm dazu. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 07:20: |
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Muss das nicht + 4 heissen. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 09:10: |
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Hallo Fabian,
Beim Entwickeln nach den Elementen einer Reihe (oder Spalte) wechseln die Vorzeichen schachbrettartig, also:
+ - + -
- + - +
+ - + -
- + - +
Das Element: 1. Reihe, 3. Spalte ist: -4
Laut Vorzeichenschema wird mit (+1) multipliziert,
also ist der Faktor: -4
Die dazugehörige Unterdeterminante ergibt sich durch Streichen
der 1. Reihe und 3.Spalte:
1 2 -4 0
2 6 -12 -1 Die zum Element -4
1 0 -2 -1 gehörige Unterdeter
3 -10 6 -1 minante ist : 2 6 -1
1 0 -1
3 -10 -1
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Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 10:28: |
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Hallo Fern, danke fuer die ausfuehrliche Erklaerung.
Mir ist da in der Gleichung 2 ein Fehler unterlaufen.
Es haette statt -x4 / -2x4 heissen sollen.
MAcht aber nichts. Mit der obigen Aufgabe kann ich das Verfahren auch gut nach vollziehen.
Nochmals Danke und wenn du das neue Ergebnis ausrechnen koenntest , wuerde ich es mit der meinigen ueberpruefen koennen. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 11:06: |
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Hallo Fern, du hast die erste bis vierte Spalte durch 4/ 3/ 0/3 ersetzt.
Ich sehe nicht woher der kommt. |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 11:20: |
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Ach so , das koennten unsere Ergebnisse sein.
Muss ich nachdem ich jeweils den konstanten Vektor eingesetzt habe, so wie bei Der Derminate D
den jeweiligen Wert ueber die dreireihige Determinante die Werte fuer D1 D2 D3 D4 ausrechnen
bzw gibt es eine vereinfachte Moeglichkeit |
Fabian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 11:21: |
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Ach so , das koennten unsere Ergebnisse von den Gleichungen sein.
Muss ich nachdem ich jeweils den konstanten Vektor eingesetzt habe, so wie bei Der Derminate D
den jeweiligen Wert ueber die dreireihige Determinante die Werte fuer D1 D2 D3 D4 ausrechnen
bzw gibt es eine vereinfachte Moeglichkeit |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 17:17: |
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Hallo Fabian,
Ja, alle Determinanten müssen berechnet werden, entweder so wie gezeigt oder mit einem Computer.
Es ist mir keine einfachere Möglichkeit bekannt. Deshalb habe ich ja gesagt, dass die Cramer-Methode für numerische Auswertung nicht sehr geeignet ist. |
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