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Florian
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 15:18: |
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Hallo! Wie kann man diese Funktion am cleversten ableiten? Unser Lehrer sagte, dass solle man mit der Umkehrfunktion versuchen. Ich wäre über einen Lösungsansatz (nicht nur das bloße Ergebnis) sehr erfreut :o)) Ciaoy Florian |
H,R,Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 18:31: |
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Hi Florian, Es gibt sehr wohl einen Weg ,der an der Benützung des Begriffs des Inversen einer Funktion vorbei geht wie die Katze am heissen Brei Du musst zwei Dinge wissen: Die Ableitung der Tangensfunktion y = tan x ist y ' (x) = 1 / (cos x) ^ 2 oder eben auch y ' = 1 + (tan x ) ^ 2 Du solltest weiter souverän beim Integral eine Substitution durchführen können. Dann kannst du mit der folgenden Methode auftrumpfen: Wir berechnen das Integral J(x) = int [1 / (1 + x ^2) * dx], indem wir die Substitution x = tan z durchführen.; z ist dann arc tan x (hier kommt der Begriff "Inverse" ins Spiel) Indem wir ableiten (wie oben empfohlen, verwenden wir die zweite Version der Ableitung des tan x), kommt für das Differential dz: dx = {1 + ( tan x ) ^2 } * dz. Wir erhalten in der neuen Variablen z J = int [dz] = z = arc tan x Indem wir die letzte Zeile nach x ableiten ( NB: J ' (x) = 1 / ( 1 + x ^ 2) ) erhalten wir das gewünschte Resultat ! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 20:48: |
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Hi Florian, Ich führe Dir noch die Methode zur Herleitung der Formel für die Ableitung der Arcustangens-Funktion vor, wie sie in den meisten Lehrbüchern zu finden ist °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 1. Auflösen der Funktionsgleichung y = f(x) nach x: x = g(y) , also: y = arc tan x ist gleichbedeutend mit x = tan y. 2. Differenzieren dieser Beziehung nach y: dx / dy = d g(y) / dy , in casu: dx / dy = 1 + (tan y) ^ 2 (zweite Darstellungsart der Abl. des tan) 3. Bilden des Kehrwerts dieses Ausdrucks: dy / dx = dy / dg(y) = [d g(y) / dy] ^ ( -1 ) ergibt den gesuchten Differentialquotienten y ' ; für unser Beispiel kommt: y ' = dy / dx = 1 / {dx / dy} = 1 / [ 1 + (tan y) ^ 2], Zum Abschluss: ersetze tan y durch x gemäss Punkt 1. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
skump
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 21:23: |
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Vielen Dank für deine Antwort! Ich muss mir das jetzt erstmal in Ruhe durchlesen :o) Ciaoy Florian |
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