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Ableitung von f(x)= arctan(x)...

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Florian
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 15:18:   Beitrag drucken

Hallo!

Wie kann man diese Funktion am cleversten ableiten? Unser Lehrer sagte, dass solle man mit der Umkehrfunktion versuchen.
Ich wäre über einen Lösungsansatz (nicht nur das bloße Ergebnis) sehr erfreut :o))

Ciaoy
Florian
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H,R,Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 18:31:   Beitrag drucken

Hi Florian,

Es gibt sehr wohl einen Weg ,der an der Benützung des Begriffs
des Inversen einer Funktion vorbei geht wie die Katze am heissen Brei

Du musst zwei Dinge wissen:
Die Ableitung der Tangensfunktion y = tan x ist
y ' (x) = 1 / (cos x) ^ 2 oder eben auch y ' = 1 + (tan x ) ^ 2
Du solltest weiter souverän beim Integral eine Substitution
durchführen können.

Dann kannst du mit der folgenden Methode auftrumpfen:
Wir berechnen das Integral J(x) = int [1 / (1 + x ^2) * dx],
indem wir die Substitution x = tan z durchführen.;
z ist dann arc tan x (hier kommt der Begriff "Inverse" ins Spiel)
Indem wir ableiten (wie oben empfohlen, verwenden wir
die zweite Version der Ableitung des tan x),
kommt für das Differential dz:

dx = {1 + ( tan x ) ^2 } * dz.

Wir erhalten in der neuen Variablen z
J = int [dz] = z = arc tan x

Indem wir die letzte Zeile nach x ableiten
( NB: J ' (x) = 1 / ( 1 + x ^ 2) )
erhalten wir das gewünschte Resultat !
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 20:48:   Beitrag drucken

Hi Florian,

Ich führe Dir noch die Methode zur Herleitung der Formel für
die Ableitung der Arcustangens-Funktion vor, wie sie in den meisten Lehrbüchern zu finden ist
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1. Auflösen der Funktionsgleichung y = f(x) nach x: x = g(y) , also:
y = arc tan x ist gleichbedeutend mit x = tan y.

2. Differenzieren dieser Beziehung nach y:
dx / dy = d g(y) / dy , in casu:
dx / dy = 1 + (tan y) ^ 2 (zweite Darstellungsart der Abl. des tan)

3. Bilden des Kehrwerts dieses Ausdrucks:
dy / dx = dy / dg(y) = [d g(y) / dy] ^ ( -1 ) ergibt den gesuchten
Differentialquotienten y ' ; für unser Beispiel kommt:
y ' = dy / dx = 1 / {dx / dy} = 1 / [ 1 + (tan y) ^ 2],
Zum Abschluss: ersetze tan y durch x gemäss Punkt 1.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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skump
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 21:23:   Beitrag drucken

Vielen Dank für deine Antwort!
Ich muss mir das jetzt erstmal in Ruhe durchlesen :o)

Ciaoy
Florian

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